1/12公式 | 二次関数と2本の接線に囲まれた面積

本項では、『1/12公式の使い方や導出』 と 『問題の解き方』について解説します。

【1】1/12公式とは

1/12公式 とは、二次関数 \(\large{y=ax^2+bx+c}\) と \(\large{2\hspace{1pt}}\)本の接線に囲まれる面積に成り立つ公式です。 二次関数 に \(\large{2\hspace{1pt}}\)本の接線 を引くとき
　『 二次関数 と \(\large{2\hspace{1pt}}\)つの接点を結ぶ直線 に囲まれた面積を \(\large{S_1}\) 』
　『 二次関数 と \(\large{2\hspace{1pt}}\)本の接線 に囲まれた面積を \(\large{S_2}\) 』
としたとき、以下の1/12公式が成り立ちます。

1/12公式 を覚えておくと、『二次関数と接線に囲まれた面積』を瞬時に計算することができます。

・例題

【解答と解説】
曲線 \(\large{\hspace{2pt}y=2x^2-4x+5}\) 上の点\(\large{(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}11\hspace{1pt})}\) , \(\large{(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}5\hspace{1pt})}\) における接線 と 曲線 \(\large{C}\) によって囲まれる面積 \(\large{S}\) を図示すると、以下のようになります。

1/12公式 $$\large{S = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3}$$ において、二次関数の二次の係数が \(\large{a=2}\)、接点の\(\large{x\hspace{1pt}}\)座標が \(\large{\alpha=-1,\hspace{2pt}\beta=2}\) であることから面積は \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large \frac{|2|}{12}(2-(-1))^3 \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{9}{2} \\ \end{eqnarray} と求められます。

【別解と解説】
ここで、1/12公式を使わずに面積を求める別解を示します。

曲線\(\large{C}\) 上の点\(\large{(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}11\hspace{1pt})}\) における接線の方程式は以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y - 11 &\large =&\large (4\cdot(-1)-4)(x-(-1)) \\[0.5em] \large y &\large =&\large -8x+3\\ \end{eqnarray}

また、曲線\(\large{C}\) 上の点\(\large{(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}5\hspace{1pt})}\) における接線の方程式は以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y - 5 &\large =&\large (4\cdot 2-4)(x-2) \\[0.5em] \large y &\large =&\large 4x-3\\ \end{eqnarray}

上記の接線の方程式から、交点の\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)座標を求めると、 \begin{eqnarray} \large -8x+3 &\large =&\large 4x-3 \\[0.5em] \large x&\large =&\large \frac{1}{2}\\ \end{eqnarray} となります。

よって、面積\(\large{\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\) を求めると、以下のようになります。

・1/12公式の証明

二次関数 \(\large{f(x)=ax^2+bx+c}\) と \(\large{2\hspace{1pt}}\)本の接線 \(\large{l\hspace{1pt},\hspace{1pt}m}\) の交点の\(\large{\hspace{1pt}x}\hspace{2pt}\)座標が \(\large{x=\alpha,\hspace{2pt}\beta\hspace{3pt}}\) とすると、囲まれる面積\(\large{\hspace{1pt}S_2\hspace{2pt}}\)が $$\displaystyle\large{S_2 = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3}$$ となることと、 $$\large{S_1 : S_2 = 2 : 1}$$ が成り立つことを証明します。

まず、図の面積\(\large{\hspace{1pt}S_1\hspace{2pt}}\)は、1/6公式から $$\large{S_1 = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3}$$ となります。

また、接線\(\large{\hspace{1pt}l\hspace{1pt},\hspace{2pt}m}\) の方程式を求めます。

点(\(\large{\hspace{1pt}\alpha},\hspace{2pt}f(\alpha)\hspace{1pt}\)) で接する接線\(\large{l}\) は \begin{eqnarray} \large y &\large =& \large (2a\alpha+b)(x-\alpha) + a\alpha^2+b\hspace{1pt}\alpha + c\\[0.5em] &\large =&\large (2a\alpha+b)x -a\alpha^2+c \\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

また、点(\(\large{\hspace{1pt}\beta},\hspace{2pt}f(\beta)\hspace{1pt}\)) で接する接線\(\large{m}\) は \begin{eqnarray} \large y &\large =& \large (2a\beta+b)(x-\beta) + a\beta^2+b\beta + c\\[0.5em] &\large =&\large (2a\beta+b)x -a\beta^2+c \\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

\(\large{2\hspace{1pt}}\)つの接線の交点の座標は \begin{eqnarray} \large (2a\alpha+b)x -a\alpha^2+c &\large =& \large (2a\beta+b)x -a\beta^2+c\\[0.5em] \large 2a(\alpha-\beta)x &=&\large a(\alpha^2-\beta^2) \\[0.5em] \large 2a(\alpha-\beta)x &=&\large a(\alpha+\beta)(\alpha-\beta) \\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 $$\large{x = \frac{\alpha + \beta}{2}}$$ となります。

よって、面積\(\large{\hspace{1pt}S_2\hspace{2pt}}\) は

ここで、\(\large{(x-\alpha)^2 \geqq 0\hspace{1pt},\hspace{2pt}(x-\beta)^2 \geqq 0}\) であるため、 $$\large{|(x-\alpha)^2| = (x-\alpha)^2\hspace{1pt},\hspace{2pt}|(x-\beta)^2| = (x-\beta)^2}$$ となります。

したがって、

以上から $$\displaystyle\large{S_2 = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3}$$ が成り立ちます。

また、図の面積\(\large{\hspace{1pt}S_1\hspace{2pt}}\)は、1/6公式から $$\large{S_1 = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3}$$ であるため、面積比 \(\large{S_1 : S_2}\) は $$\large{S_1 : S_2 = 2 : 1}$$ となります。

・証明の補足

証明の途中計算で以下の不定積分の式を利用しました。 $$\large{\int (x-\alpha)^2\hspace{1pt}dx = \frac{1}{3}(x-\alpha)^3+C}$$ 上式は、二次関数を含む面積の積分の計算でよく表れるため、覚えておくと便利です。

置換積分法を用いて上式を導出します。
まず \(\large{x-\alpha =t }\) とおいて、 \(\large{x =t+\alpha }\) の両辺を \(\large{t}\) で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt} = 1}$$ となり、\(\large{dx = dt}\) と表せます。

したがって、 \begin{eqnarray} \large \int (x-\alpha)^2\hspace{1pt}dx &\large =&\large \int t^2\hspace{1pt}dt \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}t^3 +C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}(x-\alpha)^3 +C\\[0.5em] \end{eqnarray} となることから、以下の式が導かれます。 $$\large{\int (x-\alpha)^2\hspace{1pt}dx = \frac{1}{3}(x-\alpha)^3+C}$$

【2】問題と解き方

本章では、1/12公式 に関連した問題について解説します。

(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) )

問題(1) | 二次関数と接線に囲まれた面積

【解答と解説】
二次関数 \(\large{y=2x^2+2}\) と 点\(\large{(1,-2)}\) から引いた\(\large{2\hspace{1pt}}\)本の接線 に囲まれた面積を図示すると、以下のようになります。 曲線 \(\large{\hspace{2pt}y=2x^2+2}\) 上の接点\(\large{(t,2t^2+2)}\) における接線の方程式は $$\large{y - (2t^2+2) = 4t(x-t)}$$ すなわち、 \begin{eqnarray} \large y &\large = &\large 4t(x-t) + 2t^2+2\\[0.5em] \large &\large = &\large 4tx - 2t^2+2\\[0.5em] \end{eqnarray} この接線が 点\(\large{(1,-2)}\) を通るため、 $$\large{-2 = 4t\cdot 1 - 2t^2+2}$$ 式を整理すると $$\large{t^2 -2t -2 = 0}$$ となります。

上式の\(\large{2\hspace{1pt}}\)つの解が 交点の\(\large{x\hspace{1pt}}\)座標 となります。

解の公式から \begin{eqnarray} \large x &\large =&\large \frac{1\pm \sqrt{1+1\cdot2}}{1}\\[0.5em] \large &\large =&\large 1 \pm \sqrt{3}\\[0.5em] \large \end{eqnarray}

したがって、1/12公式から面積\(\large{\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)は \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{|2|}{12}(1+\sqrt{3}-(1-\sqrt{3}))^3\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{6}(2\sqrt{3})^3\\[0.5em] \large &\large =&\large 4\sqrt{3}\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(2) | 二次関数と接線に囲まれた面積の最小値

【解答と解説】
直線 \(\large{y=2x-3}\) 上を動く点の座標を \(\large{(\hspace{1pt}p\hspace{1pt},\hspace{2pt}2p-3\hspace{1pt})}\) とします。

二次関数 \(\large{y=x^2}\) と 座標\(\large{(\hspace{1pt}p\hspace{1pt},\hspace{2pt}2p-3\hspace{1pt})}\) から二次関数に引かれた\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)本の接線 に囲まれた面積\(\large{\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)を図示すると、以下のようになります。 曲線 \(\large{\hspace{2pt}y=x^2}\) 上の接点\(\large{(t,t^2)}\) における接線の方程式は $$\large{y - t^2 = 2t(x-t)}$$ すなわち、 \begin{eqnarray} \large y &\large = &\large 2t(x-t) + t^2\\[0.5em] \large &\large = &\large 2tx - t^2\\[0.5em] \end{eqnarray} この接線が 点\(\large{(p,2p-3)}\) を通るとすると、 $$\large{2p-3 = 2t\cdot p - t^2}$$ 式を整理すると $$\large{t^2 -2p\hspace{1pt}t +2p-3 = 0\cdots(1)}$$ となります。この\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{3pt}}\)の二次方程式の解が 二次関数と接線の交点の\(\large{\hspace{2pt}x\hspace{1pt}}\)座標 となります。

(1)式の判別式を計算すると \begin{eqnarray} \large \frac{D}{4} &\large = &\large (-p)^2 - (2p-3)\\[0.5em] \large &\large = &\large p^2-2p+3\\[0.5em] \large &\large = &\large (p-1)^2 +2\\[0.5em] \end{eqnarray} と変形されます。

したがって、\(\large{D > 0 }\) となるため、すべての\(\large{\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)に対して\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)つの異なる交点を持ちます。

二次関数 と 接線 の交点の \(\large{x\hspace{1pt}}\)座標を \(\large{x=\alpha,\hspace{2pt}\beta\hspace{3pt}}\) とすると 1/12公式から、面積\(\large{\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)は以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large\frac{|1|}{12}(\beta - \alpha)^3\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{12}(\beta - \alpha)^3\\[0.5em] \end{eqnarray}

解の公式から (1)式 \(\large{t^2 -2pt +2p-3 = 0}\) を解き、接線の交点の\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)座標の差分\(\large{\hspace{2pt}\beta-\alpha}\) を求めると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \beta - \alpha &\large =&\large \frac{p+\sqrt{\frac{D}{4}}}{1}-\frac{p-\sqrt{\frac{D}{4}}}{1}\\[0.5em] \large &\large =&\large 2\sqrt{\frac{D}{4}}\\[0.5em] \large &\large =&\large 2\sqrt{ (p-1)^2 +2}\\[0.5em] \end{eqnarray}

よって、\(\large{p=1}\) のとき \(\large{\beta - \alpha}\) は最小値 \(\large{2\sqrt{2}}\) となります。

したがって、このときの面積\(\large{S\hspace{1pt}}\) は \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large \frac{1}{12}(2\sqrt{2})^3\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{4\sqrt{2}}{3}\\[0.5em] \end{eqnarray} であることから、\(\large{p=1}\) すなわち 点\(\large{(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}-1\hspace{1pt})}\) から接線を引いたときに 面積が最小値 \(\displaystyle\large{\frac{4\sqrt{2}}{3}}\) となります。