本項では、『不定積分の公式と性質』 と 『問題の解き方』について解説します。
微分すると \(\large{f(x)}\) となる関数 \(\large{F(x)}\) を \(\large{f(x)}\) の不定積分 または 原始関数 といいます。
\(\large{F(x)}\) と \(\large{f(x)}\) の関係を式で表すと、以下のようになります。 $$\large{\frac{d}{dx}F(x) = F\hspace{1pt}'(x) = f(x)}$$
例えば、\(\large{F(x) = x^2}\) を微分すると \(\large{f(x) = 2x}\) となります。 $$\large{(x^2)' = 2x}$$ つまり、\(\large{F(x) = x^2}\) は \(\large{f(x) = 2x}\) の不定積分の1つとなります。
上記の微分とは逆に、関数 \(\large{f(x)}\) から 不定積分 \(\large{F(x)}\) を求める操作を積分するといい、以下のように書き表します。
関数 \(\large{f(x)}\) の不定積分は \(\displaystyle\large{\int f(x)dx}\) と表記します。
ここで、積分定数\(\large{C}\) は、任意の値をとる定数です。
例えば、\(\large{F(x)=x^2+1}\) や \(\large{F(x) = x^2 -8}\) など定数項だけが異なる関数は、微分すると同じ関数 \(\large{f(x)=2x}\) となります。
つまり、不定積分\(\large{F(x)}\) は定数項の違いにより無数に存在します。
そこで、定数項だけ異なる関数をまとめて 積分定数\(\large{C}\) とすることで表現します。
\(\large{n \neq -1}\) のとき、関数 \(\large{f(x)=x^n}\) の不定積分は以下の式により表されます。
また、\(\large{n = -1}\) のとき、すなわち 関数 \(\displaystyle\large{f(x)=\frac{1}{x}}\) の不定積分は以下の式により表されます。
上記の不定積分の求める式は、導関数を求める公式から導かれます。
\(\large{n \neq -1}\) のとき、\(\large{x^{n+1}}\) の \(\large{x}\) に関する微分は
$$\large{(x^{n+1})' = (n+1) \hspace{1pt}x^n}$$
となることから、\(\large{x^n}\) の不定積分は
$$\large{\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
となります。
また、\(\large{n= -1}\) のときは 対数関数の微分から $$\large{(\log |x|)'=\frac{1}{x}}$$ となることから、\(\displaystyle\large{\frac{1}{x}}\) の不定積分は $$\large{\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C}$$ となります。
例えば、以下のような不定積分の問題について考えます。
不定積分の公式 $$\large{\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ から、\(\large{n=2}\) とすると、 \begin{eqnarray} \large \int x^2 dx&\large =&\large \frac{1}{2+1}x^{2+1} + C \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^{3} + C\\ \end{eqnarray} と求められます。
定数倍や和の不定積分には以下の関係が成り立ちます。ただし、\(\large{k,l}\) は定数とします。
例えば、以下のような不定積分の問題について考えます。
不定積分の性質から \begin{eqnarray} \large \int (2x^2 + 5x) dx&\large =&\large 2\int x^2 dx + 5 \int x \hspace{1pt}dx \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{2+1}x^{2+1} + \frac{5}{1+1}x^{1+1} + C\\ \large &\large =&\large \frac{2}{3}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} + C\\ \end{eqnarray} と求められます。
本章では、不定積分の問題について解説します。
(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3) 問題(4) 問題(5) 問題(6) 問題(7))
【解答と解説】
無理関数は、指数法則
$$\large{\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}}$$
により、変形して不定積分の公式に当てはめます。
関数 \(\large{\sqrt{x}}\) は、\(\large{\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}}\) と変形し、不定積分の公式 $$\large{\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ を使用して積分します。
\begin{eqnarray} \large \int \sqrt{x}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int x^{\frac{1}{2}} \hspace{1pt}dx \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{\frac{1}{2} + 1}x^{\frac{1}{2}+1} + C\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + C\\ \large &\large =&\large \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C\\ \end{eqnarray}
【解答と解説】
前問と同様に、累乗根を指数法則
$$\large{\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}}$$
により、変形して不定積分の公式に当てはめます。
\(\large{\sqrt[3]{x^2}=x^\frac{2}{3}}\) と変形し、不定積分の公式 $$\large{\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ を使用して積分します。
\begin{eqnarray} \large \int \sqrt[3]{x^2}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int x^{\frac{2}{3}} \hspace{1pt}dx \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{\frac{2}{3} + 1}x^{\frac{2}{3}+1} + C\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{3}{5}x^\frac{5}{3} + C\\ \end{eqnarray}
【解答と解説】
本問は、分数関数の不定積分を求める問題です。
分数関数は 指数法則
$$\large{\frac{1}{x^n} = x^{-n}}$$
により、変形して不定積分の公式に当てはめます。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{x^4} = x^{-4}}\) と変形し、不定積分の公式 $$\large{\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ を使用して積分します。
\begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{x^4}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int x^{-4} \hspace{1pt}dx \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{-4 + 1}x^{-4+1} + C\\[0.7em] \large &\large =&\large -\frac{1}{3}x^{-3} + C\\ \large &\large =&\large -\frac{1}{3x^3} + C\\ \end{eqnarray}
【解答と解説】
本問は、分数関数の不定積分を求める問題です。
指数法則から
$$\large{x^n \times x^m = x^{n+m}}$$
$$\large{\frac{1}{x^n} = x^{-n}}$$
の関係を利用すると、以下のように変形されます。
\begin{eqnarray}
\large
\frac{1}{x\sqrt{x}} &\large =&\large \frac{1}{x \times x^{\frac{1}{2}}} \\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\\[0.7em]
\large
&\large =&\large x^{-\frac{3}{2}}\\
\end{eqnarray}
上式のように変形し、不定積分の公式から計算します。
\begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{x\sqrt{x}}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int x^{-\frac{3}{2}} \hspace{1pt}dx \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{-\frac{3}{2} + 1}x^{-\frac{3}{2}+1} + C\\[0.7em] \large &\large =&\large -2x^{-\frac{1}{2}} + C\\ \large &\large =&\large -\frac{2}{\sqrt{x}} + C\\ \end{eqnarray}
【解答と解説】
本問の関数 \(\large{(2x-1)(x+1)}\) のように簡単に式が展開できる場合は、展開して積分を計算します。
【解答と解説】
本問のような分数の関数の場合は、各項の和の式になるように変形します。
【解答と解説】
問題(6)と同様に、分数の関数の場合は、各項の和の式になるように変形します。