指数関数の積分公式

本項では、『指数関数の積分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。

【1】指数関数の積分公式の一覧

以下に 指数関数に関連する不定積分の一覧を示します。
『導出』をクリックすると、積分の導出方法に移動します。

下表において \(\large{\log x}\) は自然対数 \(\large{\log_{\hspace{1pt}e} x}\) を表します。
また、定数\(\large{a}\) は正であり、\(\large{a \neq 1}\) とします。また、\(\large{b \neq 0}\) とします。

・指数関数の積分計算のポイント

指数関数を含む関数の積分計算のポイントについて解説します。

① xの多項式との積

\(\large{x\hspace{2pt}}\)の多項式との積 $$\large{\int x e^x\hspace{2pt}dx,\hspace{3pt}\int x^2 e^x\hspace{2pt}dx}$$ などの積分計算は部分積分が有効です。

例えば\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}\int x e^x\hspace{2pt}dx}\) の計算は以下の部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を使用して\(\large{\hspace{3pt}f'(x)= e^x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) とおくことで \begin{eqnarray} \large \int x e^x \hspace{1pt}dx&\large =&\large x e^x -\int 1 \times e^x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x e^x -\int e^x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x e^x - e^x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と変形して計算します。

② 指数関数の有理式

指数関数が分母・分子に含まれた有理式 $$\large{\int \frac{1}{e^x+1}\hspace{2pt}dx,\hspace{3pt}\int \frac{e^x+2}{e^x+1}\hspace{2pt}dx}$$ などの積分計算は置換積分法が有効です。

例えば\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}\int \frac{1}{e^x + 1}\hspace{2pt}dx\hspace{3pt}}\)の計算は以下のように計算します。

\(\large{e^x = t\hspace{2pt}}\)とおくと\(\large{\hspace{1pt}x = \log t\hspace{2pt}}\)となります。

両辺を\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t }}$$ となることから\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}dx = \frac{1}{t }dt\hspace{2pt}}\)と表されます。

変数を\(\large{\hspace{2pt}t\hspace{2pt}}\)に置き換えて積分を計算すると \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt}\frac{1}{e^x + 1}\hspace{2pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int \hspace{1pt}\frac{1}{t + 1}\hspace{2pt}\frac{1}{t }dt \\[0.5em] \large &\large =&\large \int \hspace{1pt}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)\hspace{2pt}dt \\[0.5em] \large &\large =&\large \log|t|-\log|t+1|+C \\[0.5em] \large &\large =&\large \log e^x-\log(e^x+1)+C \\[0.5em] \large &\large =&\large x -\log(e^x+1)+C \\[0.5em] \end{eqnarray} と変形して計算します。

③ 指数関数の有理式 | 分母の関数の微分が分子

指数関数が分母・分子に含まれた有理式は、以下の公式から簡単に計算できる場合があります。

例えば \(\displaystyle\large{\hspace{3pt}\int \frac{e^x}{e^x+2}\hspace{1pt} dx}\) は\(\large{\hspace{1pt}f(x)=e^x+2\hspace{2pt}}\)とすると\(\large{\hspace{1pt}f'(x)=e^x\hspace{2pt}}\)となるため \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt}\frac{e^x}{e^x+2}\hspace{2pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int \frac{(e^x+2)'}{e^x+2}\hspace{1pt}dx \\[0.5em] \large &\large =&\large \log (e^x+2) \\[0.5em] \end{eqnarray} と求めることができます。

【2】指数関数の不定積分

指数関数 \(\large{a^x}\) の積分は以下の公式で表されます。

また、\(\large{e^x}\) の積分は以下の公式で表されます。

・指数関数の積分公式の導出

\(\large{a>0\hspace{2pt}}\)かつ\(\large{\hspace{1pt}a \neq 0\hspace{2pt}}\)である指数関数\(\large{\hspace{1pt}a^x\hspace{2pt}}\)の微分は指数関数の微分公式より $$\large{(a^x)' = a^x \log a}$$ となります。

すなわち $$\large{\left(\frac{a^x}{\log a}\right)' = a^x}$$ つまり $$\large{\int a^x \hspace{1pt}dx =\frac{a^x}{\log a} + C}$$ となります。

・底がeの指数関数の積分公式の導出

指数関数の積分公式において\(\large{\hspace{1pt}a=e\hspace{2pt}}\)とすると \begin{eqnarray} \large \int e^x \hspace{1pt}dx&\large =&\large \frac{e^x}{\log e} + C\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

【3】指数が(bx+c)の指数関数の積分公式

指数が\(\large{\hspace{1pt}bx+c\hspace{2pt}}\)(\(\large{\hspace{1pt}b \neq 0\hspace{2pt}}\))の指数関数\(\large{\hspace{1pt}a^{b\hspace{1pt}x+c}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下の公式で表されます。

また、\(\large{e^{b\hspace{1pt}x+c}}\) の積分は以下の公式で表されます。

・指数が(bx+c)の指数関数の積分公式の導出

指数関数\(\large{\hspace{1pt}a^{bx+c}\hspace{2pt}}\)の不定積分を置換積分法により求めます。

\(\large{bx + c = t\hspace{2pt}}\)とおくと\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}x = \frac{t}{b}-\frac{c}{b}\hspace{2pt}}\)となります。

ここで、両辺を\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{b}}$$ となります。すなわち\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}dx = \frac{1}{b}dt\hspace{2pt}}\)と表せます。

したがって、指数関数\(\large{\hspace{1pt}a^{bx+c}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large \int a^{bx+c}\hspace{2pt} dx&\large =&\large \frac{1}{b} \int a^t\hspace{1pt} \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{a^t}{b \log a}+C\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、\(\large{t=bx + c\hspace{2pt}}\)より $$\large{\int a^{b\hspace{1pt}x+c}\hspace{2pt} dx = \frac{a^{b\hspace{1pt}x + c}}{b \log a}+C }$$ となります。

・底がeの場合の積分公式

また、指数関数の底が\(\large{\hspace{1pt}e\hspace{2pt}}\)である場合の指数関数\(\large{\hspace{1pt}e^{b\hspace{1pt}x+c}\hspace{2pt}}\)の不定積分を求めます。

\(\large{bx + c = t\hspace{2pt}}\)とおくと\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}x = \frac{t}{b}-\frac{c}{b}\hspace{2pt}}\)となります。

ここで、両辺を\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{b}}$$ となります。すなわち\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}dx = \frac{1}{b}dt\hspace{2pt}}\)と表せます。

したがって、指数関数\(\large{\hspace{1pt}e^{b\hspace{1pt}x+c}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large \int e^{b\hspace{1pt}x+c}\hspace{2pt} dx&\large =&\large \frac{1}{b} \int e^t\hspace{1pt} \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{b}e^{t}+C\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、\(\large{t=b\hspace{1pt}x + c\hspace{2pt}}\)より $$\large{\int e^{b\hspace{1pt}x+c}\hspace{2pt} dx = \frac{1}{b}e^{b\hspace{1pt}x + c}+C }$$ となります。

【4】xa^xの積分公式

関数\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{1pt}a^{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は以下の公式で表されます。

また、\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{1pt}e^{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は以下の公式で表されます。

・xa^xの積分公式の導出

関数\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{1pt}a^{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、部分積分法により求めます。

部分積分法とは、2つの微分可能な関数\(\large{\hspace{3pt}f(x),\hspace{3pt}g(x)\hspace{3pt}}\)の積の積分を簡単にする計算方法のことをいいます。

\(\large{f'(x)= a^{x}\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) として計算すると以下のようになります。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から \begin{eqnarray} \large \int x \hspace{1pt} a^{x}\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \times \frac{a^x}{\log a} - \int 1 \times \frac{a^x}{\log a} \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{x\hspace{1pt}a^x}{\log a} - \frac{1}{\log a}\int a^x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{x\hspace{1pt}a^x}{\log a} - \frac{a^x}{(\log a)^2} + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

・xe^xの積分公式の導出

また、指数関数の底が\(\large{\hspace{1pt}e\hspace{2pt}}\)である場合の指数関数\(\large{\hspace{1pt}xe^{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分を求めます。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \int x \hspace{1pt} e^{x}\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \times e^x - \int 1 \times e^x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x e^x - \int e^x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x e^x - e^x +C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【5】x^2a^xの積分公式

関数\(\large{\hspace{1pt}x^2\hspace{1pt}a^{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下の公式で表されます。

また、\(\large{\hspace{1pt}x^2\hspace{1pt}e^{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下の公式で表されます。

・x^2a^xの積分公式の導出

関数\(\large{\hspace{1pt}x^2\hspace{1pt}a^{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、部分積分を\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回使用することにより求めます。

部分積分法とは、2つの微分可能な関数\(\large{\hspace{3pt}f(x),\hspace{3pt}g(x)\hspace{3pt}}\)の積の積分を簡単にする計算方法のことをいいます。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から

と求められます。

・x^2e^xの積分公式の導出

また、底が\(\large{\hspace{1pt}e\hspace{2pt}}\)である場合は、以下のように求めれます。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から \begin{eqnarray} \large \int x^2 \hspace{1pt} e^{x}\hspace{1pt} dx &\large = &\large x^2 \times e^x - \int 2x \times e^x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x^2 e^x - 2\int x\hspace{1pt}e^x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x^2 e^x - 2(x \times e^x - \int 1 \times e^x\hspace{1pt} dx )\\[0.5em] \large &\large =&\large x^2 e^x - 2x e^x + 2 \int e^x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【6】指数関数が分母に含まれた積分の公式

関数\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{1}{a^x + b}\hspace{2pt}}\)\(\large{\hspace{1pt}(b \neq 0)\hspace{2pt}}\)の不定積分は以下の公式で表されます。

また、\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{1}{e^x + b}\hspace{2pt}}\)の不定積分は以下の公式で表されます。

・積分公式の導出

関数\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{1}{a^x + b}\hspace{4pt}}\)\(\large{\hspace{1pt}(b \neq 0)\hspace{2pt}}\)の不定積分は、置換積分法を使用することにより求めます。

\(\large{\hspace{1pt}a^x = t\hspace{2pt}}\)とおくと\(\large{\hspace{1pt}x = \log_a t\hspace{2pt}}\)となります。両辺を\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t \log a}}$$ となることから\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}dx = \frac{1}{t \log a}dt\hspace{2pt}}\)と表されます。

よって不定積分を求めると

と求められます。

・底がeの場合の積分公式の導出

また、底が\(\large{\hspace{1pt}e\hspace{2pt}}\)である場合である関数\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{1}{e^x + b}\hspace{4pt}}\)\(\large{\hspace{1pt}(b \neq 0)\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下のように求めれます。

\(\large{\hspace{1pt}e^x = t\hspace{2pt}}\)とおくと\(\large{\hspace{1pt}x = \log t\hspace{2pt}}\)となります。両辺を\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t }}$$ となることから\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}dx = \frac{1}{t }dt\hspace{2pt}}\)と表されます。

よって不定積分を求めると

と求められます。

【7】三角関数との積の不定積分

三角関数との積 \(\large{e^x \sin x}\) , \(\large{e^x \cos x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・三角関数との積の不定積分の導出

三角関数と指数関数の積 \(\large{e^x \sin x}\) , \(\large{e^x \cos x}\) の積分を計算するときは、部分積分から積分を行い、得られた式を連立方程式として解くことにより求めます。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から $$\large{\int e^x \sin x \hspace{1pt}dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\cdots (1)}$$ $$\large{\int e^x \cos x \hspace{1pt}dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\cdots(2)}$$ が成り立ちます。

(1)式と(2)式から \(\displaystyle\large{\int e^x \sin x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt},}\)\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}\int e^x \cos x \hspace{1pt}dx}\) について解くと $$\large{\int e^x \sin x\hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x)+C}$$ $$\large{\int e^x \cos x\hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x)+C}$$ と求めることができます。

【8】指数関数の積分の問題

本章では、指数関数の積分に関連した問題について解説します。

解答と解説 : 問題(1)

解答と解説 : 問題(2)

解答と解説 : 問題(3)

解答と解説 : 問題(4)

解答と解説 : 問題(5)

問題(1) a^(bx+c)の積分

【解答と解説】
本問は、指数が (\(\large{bx+c\hspace{1pt}}\)) の指数関数の不定積分を求める問題です。

\(\large{5x -2 = t\hspace{2pt}}\)とおくと、\(\displaystyle\large{x = \frac{t}{5}+\frac{2}{5}\hspace{2pt}}\)となります。

ここで、両辺を\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{5}}$$ となります。すなわち\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}dx = \frac{1}{5}dt\hspace{2pt}}\)と表せます。

したがって、指数関数\(\large{\hspace{1pt}3^{5x-2}\hspace{2pt}}\)の不定積分は以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large \int 3^{5x -2}\hspace{2pt} dx&\large =&\large \frac{1}{5} \int 3^t\hspace{1pt} \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{3^t}{5 \log 3}+C\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、\(\large{t=5x -2\hspace{2pt}}\)より $$\large{\int 3^{5x -2}\hspace{2pt} dx = \frac{3^{5x -2}}{5 \log 3}+C }$$ となります。

別解

もしくは、指数が (\(\large{bx+c}\)) の指数関数の不定積分の公式 $$\large{\int a^{b\hspace{1pt}x+c} \hspace{1pt}dx =\frac{a^{b\hspace{1pt}x+c}}{b\log a} + C}$$ において\(\large{\hspace{1pt}a=3\hspace{2pt},\hspace{2pt}b=5\hspace{2pt},\hspace{2pt}c=-2\hspace{2pt}}\)とおくと $$\large{\int 3^{5\hspace{1pt}x-2} \hspace{1pt}dx =\frac{3^{5\hspace{1pt}x-2}}{5\log 3} + C}$$ となります。

問題(2) xe^(x^2)の不定積分

【解答と解説】

不定積分\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\int x e^{x^2} \hspace{1pt} dx\hspace{2pt}}\)を置換積分法により求めます。

\(\large{t=x^2}\) とおき、両辺を\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)で微分すると\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{dt}{dx}=2x}\) となります。
すなわち\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}dt = 2x\hspace{1pt}dx}\) と表すことができます。

\(\displaystyle\large{\int x e^{x^2} \hspace{1pt} dx\hspace{3pt}}\)を変数\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)に置換して積分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int x e^{x^2} \hspace{1pt} dx &\large= &\large \frac{1}{2}\int e^{x^2}\cdot 2\hspace{1pt} x dx\\[0.5em] \large &\large= &\large \frac{1}{2}\int e^{t} \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}e^t + C\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}e^{x^2} + C\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(3) x^3e^(x^2)の不定積分

【解答と解説】

不定積分\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\int x^3 e^{x^2} \hspace{1pt} dx\hspace{2pt}}\)を置換積分法により求めます。

\(\large{t=x^2}\) とおき、両辺を\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)で微分すると\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}\frac{dt}{dx}=2x}\) となります。
すなわち\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}dt = 2x\hspace{1pt}dx}\) と表すことができます。

\(\displaystyle\large{\int x^3 e^{x^2} \hspace{1pt} dx\hspace{3pt}}\)を変数\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)に置換して積分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int x^3 e^{x^2} \hspace{1pt} dx &\large= &\large \frac{1}{2}\int x^2 e^{x^2}\cdot 2\hspace{1pt} x dx\\[0.5em] \large &\large= &\large \frac{1}{2}\int t e^{t} \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \end{eqnarray}

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から \begin{eqnarray} \large \frac{1}{2}\int t e^{t} \hspace{1pt} dx &\large= &\large \frac{1}{2} t e^t - \frac{1}{2}\int 1 \times e^{t} dt\\[0.5em] \large &\large= &\large \frac{1}{2} t e^t - \frac{1}{2}e^t + C\\[0.5em] \large &\large= &\large \frac{1}{2} (t -1 )e^t + C\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

\(\large{t=x^2}\) から $$\large{\int x^3 e^{x^2} \hspace{1pt} dx = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C}$$ と求められます。

問題(4) 指数関数の有理式の不定積分

不定積分\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\int \frac{e^x}{e^x+1} \hspace{1pt} dx\hspace{2pt}}\)を置換積分法により求めます。

\(\large{e^x+1 = t\hspace{2pt}}\)とおき、両辺を\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dt}{dx}=e^x}$$ となることから\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}dt = e^x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)と表されます。

変数を\(\large{\hspace{2pt}t\hspace{2pt}}\)に置き換えて積分を計算すると \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt}\frac{e^x}{e^x+1}\hspace{2pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int \hspace{1pt}\frac{1}{t}\hspace{2pt}dt \\[0.5em] \large &\large =&\large \log |t\hspace{1pt}| + C \\[0.5em] \large &\large =&\large \log (e^x+1) + C \\[0.5em] \end{eqnarray}

別解 | 分母の関数の微分が分子となる積分

\(\displaystyle\large{\int \frac{e^x}{e^x+1}\hspace{1pt} dx}\) は以下の公式から簡単に求めることもできます。

\(\displaystyle\large{\int \frac{e^x}{e^x+1}\hspace{1pt} dx}\) は\(\large{\hspace{1pt}f(x)=e^x+1\hspace{2pt}}\)とすると\(\large{\hspace{1pt}f'(x)=e^x\hspace{2pt}}\)となるため \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt}\frac{e^x}{e^x+1}\hspace{2pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int \frac{(e^x+1)'}{e^x+1}\hspace{1pt}dx \\[0.5em] \large &\large =&\large \log (e^x+1) \\[0.5em] \end{eqnarray} と求めることができます。

問題(5) 指数関数の有理式の不定積分

不定積分\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\int \frac{e^x+2}{e^x+3} \hspace{1pt} dx\hspace{3pt}}\)を置換積分法により求めます。

\(\large{e^x = t\hspace{2pt}}\)とおくと\(\large{\hspace{1pt}x = \log t\hspace{2pt}}\)となります。

両辺を\(\large{\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t }}$$ となることから\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}dx = \frac{1}{t }dt\hspace{2pt}}\)と表されます。

変数を\(\large{\hspace{2pt}t\hspace{2pt}}\)に置き換えて積分を計算すると \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt}\frac{e^x+2}{e^x + 3}\hspace{2pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int \hspace{1pt}\frac{t+2}{t + 3}\hspace{2pt}\frac{1}{t }dt \\[0.5em] \large &\large =&\large \int \hspace{1pt}\frac{t+2}{t(t + 3)}\hspace{2pt}dt \\[0.5em] \end{eqnarray} ここで\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{t+2}{t(t + 3)}\hspace{2pt}}\)を部分分数分解します。

\(\large{A\hspace{2pt},\hspace{2pt}B\hspace{3pt}}\)を定数とし、以下のような和に分解できるとします。 $$\large{\frac{t+2}{t(t + 3)} = \frac{A}{t}+\frac{B}{t+3}\hspace{5pt}\cdots(1)}$$ (1)式の右辺を変形すると $$\large{\frac{A}{t}+\frac{B}{t+3} = \frac{(A+B)t + 3A}{t(t+3)}\hspace{5pt}\cdots(2)}$$ (1)式の左辺と(2)式の右辺を比較すると $$\large{A+B =1\hspace{2pt},\hspace{2pt}3A = 2}$$ これを解くと $$\large{A = \frac{2}{3}\hspace{2pt},\hspace{2pt}B=\frac{1}{3}}$$ すなわち以下のように部分分数分解されます。 $$\large{\frac{t+2}{t(t + 3)} = \frac{1}{3}\left(\frac{2}{t}+\frac{1}{t+3} \right)}$$ よって、問題の積分を求めると

と求めれます。