部分積分

本項では、『部分積分の公式と使い方』と『問題の解き方』について解説します。

【1】部分積分とは

2つの関数の積の積分 \(\displaystyle\large{\int x e^x \hspace{1pt}dx}\) や \(\displaystyle\large{\int x \sin x \hspace{1pt}dx}\) などを、より簡単な積分に変換する方法として、以下の部分積分という手法があります。

また、区間 \(\large{a \leqq x \leqq b}\) の定積分の部分積分は以下のようになります。

【1-1】部分積分の公式の導出

部分積分の公式は、積の微分公式 $$\large{ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$ から導出されます。

積の微分公式の両辺を積分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large f(x)g(x)&\large =&\large \int (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int f'(x)g(x)\hspace{1pt}dx + \int f(x)g'(x)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \end{eqnarray} すなわち、 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ 以上から、部分積分の公式が導出されます。

【1-2】部分積分の使い方①

部分積分の計算を図に示すと、以下のような操作をすることになります。

部分積分は \(\displaystyle\large{\int f'(x)g(x)\hspace{1pt}dx}\) の積分を、関数 \(\large{f'(x)}\) を先に積分し、\(\displaystyle\large{\int f(x)g'(x)\hspace{1pt}dx}\) の積分の計算に変換する手法です。

そのため、部分積分は
　・『簡単に積分できる関数を \(\large{f'(x)}\)』
　・『微分するとシンプルになる関数を \(\large{g(x)}\)』
とすることで積分の計算が簡単になります。

例えば、以下のような不定積分の問題について考えます。

関数 \(\large{x}\) と \(\large{\cos x}\) は、どちらも積分は簡単に求められますが、\(\large{x}\) の方が微分するとシンプルな式となります。

そこで、\(\large{f'(x)=\cos x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) として部分積分を使用して計算します。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx = \color{red}{f(x)}\hspace{1pt} \color{black}{}g(x)- \int \color{red}{f(x)}\hspace{1pt} \color{blue}{g\hspace{1pt}'(x)}\color{black}{}\hspace{1pt}dx}$$ から、\(\large{f(x)=\int \cos x \hspace{1pt}dx = \sin x +C\hspace{1pt},\hspace{5pt}}\)\(\large{g\hspace{1pt}'(x)=1}\) より \begin{eqnarray} \large \int (\cos x \times x )\hspace{1pt} dx&\large =&\large \color{red}{\sin x}\color{black}{} \times x - \int (\color{red}{\sin x}\color{black}{} \times \color{blue}{1}\color{black}{}) dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x\hspace{1pt}\sin x - \int \sin dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \sin x + \cos x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【1-3】部分積分の使い方②

また、『部分積分を繰り返し使用することで 積分の結果を導く』場合もあります。

例えば、以下のような不定積分の問題について考えます。

関数 \(\large{e^x}\) と \(\large{\cos x}\) は、どちらも簡単に微分、積分ができますが、微分によりシンプルな式にはなりません。

そこで、\(\large{f'(x)=e^x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\cos x}\) とおいて部分積分を使用してみます。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx = \color{red}{f(x)}\hspace{1pt} \color{black}{}g(x)- \int \color{red}{f(x)}\hspace{1pt} \color{blue}{g'(x)}\color{black}{}\hspace{1pt}dx}$$ から、\(\large{f(x)=\int e^x \hspace{1pt}dx = e^x +C}\)、\(\large{g'(x)=-\sin x}\) より \begin{eqnarray} \large \int e^x \hspace{1pt} \cos x\hspace{1pt} dx&\large =&\large\color{red}{e^x} \hspace{1pt}\color{black}{} \cos x - \int \color{red}{e^x}\hspace{1pt}\color{black}{}(\color{blue}{-\sin x}\color{black}{})\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x \hspace{1pt} \cos x +\int e^x \hspace{1pt}\sin x\hspace{1pt} dx \hspace{1pt}\cdots (1)\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\displaystyle\large{\int e^x \hspace{1pt}\sin x\hspace{1pt} dx}\) を \(\large{f'(x)=e^x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\sin x}\) とおき、もう一度 部分積分を使用してみます。

$$\large{\int e^x \hspace{1pt} \sin x\hspace{1pt} dx =\color{red}{e^x}\color{black}{} \hspace{1pt} \sin x - \int \color{red}{e^x}\hspace{1pt} \color{blue}{\cos x}\hspace{1pt}\color{black}{} dx\hspace{1pt}\cdots (2)}$$

ここで、(1)式と(2)式から $$\large{\int e^x\hspace{1pt} \cos x\hspace{1pt} dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x)+C}$$ と求めることができます。

【2】問題と解き方

本章では、部分積分の問題について解説します。

(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3) 問題(4) 問題(5))

(解答と解説 : 問題(6) 問題(7))

問題(1) x^2sinxの不定積分

【解答と解説】
部分積分法は
　・『簡単に積分できる関数を \(\large{f'(x)}\)』
　・『微分するとシンプルになる関数を \(\large{g(x)}\)』
として計算します。

そこで、\(\large{f'(x)=\sin x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x^2}\) として部分積分を使用して計算します。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \int x^2 \hspace{1pt} \sin x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x^2 \hspace{1pt} (-\cos x) - \int (x^2)\hspace{1pt}' (-\cos x)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -x^2 \hspace{1pt} \cos x + 2 \int x\hspace{1pt} \cos x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\displaystyle\large{\int x\hspace{1pt} \cos x\hspace{1pt} dx}\) をもう一度 部分積分を使用して求めます。

\(\large{f'(x)=\cos x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) とすると、以下のように計算できます。 \begin{eqnarray} \large \int x \hspace{1pt} \cos x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \sin x - \int (x)\hspace{1pt}' \sin x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \sin x - \int \sin x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \sin x + \cos x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

したがって、 \begin{eqnarray} &\large \int&\large x^2 \sin x\hspace{1pt} dx&\large \\[0.5em] \large &\large =&\large -x^2 \hspace{1pt} \cos x + 2x \hspace{1pt} \sin x + 2\cos x + C\\[0.5em] \large &\large =&\large (2-x^2) \hspace{1pt} \cos x + 2x \hspace{1pt} \sin x+ C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(2) xe^(-x)の不定積分

【解答と解説】
部分積分法は
　・『簡単に積分できる関数を \(\large{f'(x)}\)』
　・『微分するとシンプルになる関数を \(\large{g(x)}\)』
として計算します。

\(\large{f'(x)= e^{-x}\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) として計算すると以下のようになります。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \int x \hspace{1pt} e^{-x}\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \times (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \times 1\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -xe^{-x} + \int e^{-x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -xe^{-x} -e^{-x} + C\\[0.5em] \large &\large =&\large -(1+x)e^{-x} + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(3) xlogxの不定積分

【解答と解説】
部分積分法は
　・『簡単に積分できる関数を \(\large{f'(x)}\)』
　・『微分するとシンプルになる関数を \(\large{g(x)}\)』
として計算します。

対数の微分公式から、自然対数の微分は $$\large{(\hspace{1pt}\log x \hspace{1pt})' = \frac{1}{x}}$$ となるため、\(\large{g(x) = \log x}\) とおいて部分積分を使用します。

\(\large{f'(x)= x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) として計算すると以下のようになります。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \int x \hspace{1pt} \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \int \frac{1}{2}x^2\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{2}\int x^2\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{2}\int x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{4} x^2 +C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(4) logxの不定積分

【解答と解説】
対数関数の積分は、部分積分により求めることができます。

\(\large{\log x}\) を 『\(\large{1 \times \log x}\)』 という 2つの関数の積とみなし、
\(\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) とおいて計算します。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \int \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \log x - \int x\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -\int x\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -\int 1\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(5) (logx)^2の定積分

【解答と解説】

前問と同等に、\(\large{(\log x)^2}\) を 『\(\large{1 \times (\log x)^2}\)』 という 2つの関数の積とみなし、
\(\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=(\log x)^2}\) とおいて計算します。

部分積分の公式 $$\large{\int_a^b f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx =[ f(x)\hspace{1pt}g(x)]_a^b- \int_a^b f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \int_1^e (\log x)^2\hspace{1pt} dx&\large =&\large [\hspace{1pt}x \hspace{1pt} (\log x)^2 \hspace{1pt}]_1^e- \int_1^e x\hspace{1pt} ((\log x)^2)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large e -\int_1^e x\cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large e -2\int_1^e \log x\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、\(\displaystyle \large{\int_1^e \log x\hspace{1pt} dx}\) を計算すると、部分積分から \begin{eqnarray} \large \int_1^e \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large[\hspace{1pt}x \hspace{1pt} \log x\hspace{1pt}]_1^e - \int_1^e x\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large e -\int_1^e x\cdot \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large e -\int_1^e 1\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large e-[x]_1^e\\[0.5em] \large &\large =&\large 1\\[0.5em] \end{eqnarray}

したがって、 $$\large{\int_1^e (\log x)^2 \hspace{1pt} dx = e-2}$$ と求められます。

問題(6) e^xsinxの不定積分

【解答と解説】
本問は、繰り返し部分積分の公式を利用し 積分を計算する問題です。

\(\displaystyle\large{\int e^x \hspace{1pt}\sin x\hspace{1pt}dx}\) に対して \(\large{f'(x)=e^x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\sin x}\) とおいて部分積分を使用します。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、\(\large{f(x)=\int e^x \hspace{1pt}dx = e^x +C}\)、\(\large{g'(x)=\cos x}\) より $$\large{\int e^x \hspace{1pt} \sin x\hspace{1pt} dx = e^x \hspace{1pt} \sin x - \int e^x\hspace{1pt}\cos x\hspace{1pt} dx\hspace{1pt}\cdots (1)}$$

ここで、\(\displaystyle\large{\int e^x \hspace{1pt}\cos x\hspace{1pt} dx}\) を \(\large{f'(x)=e^x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\cos x}\) とおき、もう一度 部分積分を使用してみます。

\begin{eqnarray} \large \int e^x \hspace{1pt} \cos x\hspace{1pt} dx&\large =&\large e^x \hspace{1pt} \cos x - \int e^x\hspace{1pt}(-\sin x)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x \hspace{1pt} \cos x +\int e^x \hspace{1pt}\sin x\hspace{1pt} dx \hspace{1pt}\cdots (2)\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、(1)式と(2)式から $$\large{\int e^x\hspace{1pt} \sin x\hspace{1pt} dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x)+C}$$ $$\large{\int e^x\hspace{1pt} \cos x\hspace{1pt} dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x)+C}$$ と求めることができます。

問題(7) xe^xsinxの不定積分

【解答と解説】
本問は、3つの関数の積の積分ですが、問題(6)の結果から \(\large{e^x \sin x\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)\(\large{e^x \cos x}\) の積分が求められているので、\(\large{f'(x)=e^x \sin x \hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) とおいて部分積分を使用します。

部分積分の公式 $$\large{\int_a^b f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = [\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}g(x)\hspace{1pt}]_a^b- \int_a^b f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、

と求めることができます。