本項では、『指数関数の微分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。
指数関数の微分は、以下の式により表されます。
上記の指数関数の底が 自然対数の底\(\large{\hspace{1pt}e}\) であるとき、以下の式となります。
指数関数\(\large{\hspace{2pt}a^x}\) の微分の式を導関数の定義 から導きます。
導関数の定義から\(\large{\hspace{2pt}f(x)=a^x}\) の導関数\(\large{\hspace{1pt}(a^x)'\hspace{2pt}}\)を求めると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large (a^x)' &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{a^{(x+h)}-a^x}{h}\\[0.5em] &\large =&\large a^x \lim_{h \to 0}\frac{a^{h}-1}{h}\\[0.5em] \end{eqnarray}
ここで\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}a^h-1=t}\) とおくと、\(\large{a^h = 1+t\hspace{2pt}}\)すなわち\(\large{\hspace{3pt}h = \log_{\hspace{1pt}a} (1+t)\hspace{2pt}}\)となります。
底の変数公式から \begin{eqnarray} \large h &\large =&\large \log_a (1+t)\\[0.5em] &\large =&\large \frac{\log (1+t)}{\log a}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
\(\large{h \to 0\hspace{3pt}}\)のとき\(\large{\hspace{2pt}t \to 0\hspace{3pt}}\)であることから \begin{eqnarray} \large (a^x)' &\large =&\large a^x \hspace{2pt}\lim_{h \to 0}\frac{a^{h}-1}{h}\\[0.5em] &\large =&\large a^x \hspace{2pt}\lim_{t \to 0}\frac{t}{\log (1+t) / \log a}\\[0.5em] &\large =&\large a^x \log a \hspace{2pt}\lim_{t \to 0}\frac{1}{\frac{1}{t}\log (1+t) }\\[0.5em] &\large =&\large a^x \log a \hspace{2pt}\lim_{t \to 0}\frac{1}{\log (1+t)^{\frac{1}{t}} }\\[0.5em] \end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\large{\lim_{t \to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}}\) は極限値が存在し、自然対数の底\(\large{\hspace{1pt}e\hspace{2pt}}\)の定義式を表します。
\(\displaystyle\large{\lim_{t \to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}} = e}\) から \begin{eqnarray} \large (a^x)' &\large =&\large a^x \log a \hspace{2pt}\lim_{t \to 0}\frac{1}{\log (1+t)^{\frac{1}{t}} }\\[0.5em] &\large =&\large a^x \log a \hspace{2pt}\frac{1}{\log e }\\[0.5em] &\large =&\large a^x \log a \\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
以上から、指数関数の微分 $$\large{(a^x)' = a^x \log a}$$ が求められます。
指数関数の底が\(\large{\hspace{1pt}e\hspace{2pt}}\)である場合は、上記に示した指数関数\(\large{\hspace{1pt}a^x\hspace{2pt}}\)の微分において\(\large{\hspace{1pt}a=e\hspace{2pt}}\)とすればよいので \begin{eqnarray} \large (e^x)' &\large =&\large e^x \log e \\[0.5em] &\large =&\large e^x \\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
\(\large{a^x}\) の微分の式を対数微分法から導きます。
対数微分法を使用すると簡単に指数関数の微分を求めることができます。
対数微分法とは、式の両辺に対数をとって微分する方法のことをいいます。
まず、\(\large{y=a^x\hspace{2pt}}\)の両辺に対数をとると \begin{eqnarray} \large \log y &\large =&\large \log a^x\\[0.5em] &\large =&\large x \log a\\[0.5em] \end{eqnarray} 両辺を\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)で微分すると \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y} &\large =&\large \log a\\[0.5em] \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \log a\\[0.5em] \large &\large =&\large a^x \log a\\[0.5em] \end{eqnarray}
以上から、指数関数の微分 $$\large{(a^x)' = a^x \log a}$$ が求められます。
本章では、指数関数の微分に関連した問題について解説します。
問題(1)～(3)は、指数関数の基本的な微分の問題です。
指数が\(\large{\hspace{1pt}ax+b\hspace{2pt}}\)などの形式の場合は合成関数の微分から計算します。
(解答と解説 : 問題(1)～(3))
問題(4)～(10)は、\(\large{x\hspace{2pt}}\)の多項式や対数関数、三角関数などと組み合わせた積分の問題です。
(解答と解説 : 問題(4) 問題(5) 問題(6) 問題(7) 問題(8) 問題(9) 問題(10))
指数関数の微分の公式 $$\large{(a^x)' = a^x \log a}$$ 底が自然対数の底のときの微分公式 $$\large{(e^x)' = e^x }$$ から計算します。
また、指数が\(\large{\hspace{1pt}ax+b\hspace{2pt}}\)などの指数関数の場合は合成関数の微分から計算します。
【問題(1)】
\begin{eqnarray}
\large
y\hspace{1pt}'&\large =&\large 2^{3x} \hspace{1pt}\log 2 \times (3x)'\\[0.5em]
\large
&\large =&\large (3 \log 2) \hspace{1pt} 2^{3x} \\[0.5em]
\end{eqnarray}
【問題(2)】
\begin{eqnarray}
\large
y\hspace{1pt}'&\large =&\large 10^{-2x+1} \hspace{1pt}\log 10 \times (-2x+1)'\\[0.5em]
\large
&\large =&\large (-2 \log 10) \hspace{1pt} 10^{-2x+1} \\[0.5em]
\end{eqnarray}
【問題(3)】
\begin{eqnarray}
\large
y\hspace{1pt}'&\large =&\large e^{2x+3} \times (2x+3)'\\[0.5em]
\large
&\large =&\large 2 e^{2x+3} \\[0.5em]
\end{eqnarray}
【解答と解説】
本問は指数関数と\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の積であるため積の微分公式
$$\displaystyle\large{ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$
を使用して計算します。
積の微分公式から \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}'&\large =&\large (x)\hspace{1pt}'\hspace{1pt}e^x + x \hspace{1pt}(e^x)\hspace{1pt}'\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x + x \hspace{1pt}e^x \\[0.5em] \large &\large =&\large (1 + x )\hspace{1pt}e^x \\[0.5em] \end{eqnarray}
【解答と解説】
問題4と同様に指数関数と\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の積であるため積の微分公式
$$\displaystyle\large{ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$
を使用して計算します。
また、指数が\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の多項式となっているため、合成関数の微分から計算します。
積の微分公式から \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}'&\large =&\large (x)\hspace{1pt}'\hspace{1pt}e^{x^2+1} + x \hspace{1pt}(e^{x^2+1})\hspace{1pt}'\\[0.5em] \large &\large =&\large e^{x^2+1} + x \hspace{1pt}e^{x^2+1} \times (x^2+1)' \\[0.5em] \large &\large =&\large e^{x^2+1} + x \hspace{1pt}e^{x^2+1} \times 2x \\[0.5em] \large &\large =&\large e^{x^2+1} + 2x^2 \hspace{1pt}e^{x^2+1} \\[0.5em] \large &\large =&\large (1+2x^2) \hspace{1pt}e^{x^2+1} \\[0.5em] \end{eqnarray}
【解答と解説】
本問は指数関数と無理関数の積であるため積の微分公式
$$\displaystyle\large{ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$
から計算します。
積の微分公式から
【解答と解説】
本問は指数関数と無理関数の積であるため積の微分公式
$$\displaystyle\large{ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$
から計算します。
また、対数関数の微分公式から $$\large{(\log x)\hspace{1pt}'=\frac{1}{x}}$$ を使用して計算します。
積の微分公式から \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}'&\large =&\large (5^x)\hspace{1pt}'\hspace{1pt}\log x + 5^x \hspace{1pt}(\log x)\hspace{1pt}'\\[0.5em] \large &\large =&\large ( \log 5)\hspace{1pt} 5^x \hspace{1pt}\log x +5^x \hspace{1pt}\frac{1}{x} \\[0.5em] &\large =&\large 5^x\left( (\log 5 )\hspace{1pt}\log x + \frac{1}{x} \right) \\[0.5em] \end{eqnarray}
【解答と解説】
本問は指数関数と三角関数の積であるため積の微分公式
$$\displaystyle\large{ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$
から計算します。
また、三角関数の微分公式から $$\large{(\sin x)\hspace{1pt}'= \cos x}$$ を使用して計算します。
積の微分公式から \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}'&\large =&\large (e^x)\hspace{1pt}'\hspace{1pt}\sin 2x + e^x \hspace{1pt}(\sin 2x)\hspace{1pt}'\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x\hspace{1pt}\sin 2x + e^x \hspace{1pt}(\cos 2x)\hspace{1pt}(2x)' \\[0.5em] \large &\large =&\large e^x\hspace{1pt}\sin 2x + 2e^x \hspace{1pt}\cos 2x \\[0.5em] \large &\large =&\large e^x\hspace{1pt}(\sin 2x + 2\hspace{1pt}\cos 2x) \\[0.5em] \end{eqnarray}
【解答と解説】
本問は商の微分公式
$$\displaystyle\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$
から計算します。
また、三角関数の微分公式から $$\large{(\cos x)\hspace{1pt}'= -\sin x}$$ を使用して計算します。
商の微分公式から \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}'&\large =&\large \frac{(e^x)\hspace{1pt}'\hspace{1pt}\cos x - e^x \hspace{1pt} (\cos x)\hspace{1pt}'}{\cos^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{e^x\hspace{1pt}\cos x + e^x \hspace{1pt}\sin x}{\cos^2 x} \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{e^x(\cos x +\sin x)}{\cos^2 x} \\[0.5em] \end{eqnarray}
【解答と解説】
本問は商の微分公式
$$\displaystyle\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$
から計算します。
商の微分公式から