本項では、『対数微分法の方法』 と 『問題の解き方』について解説します。
対数微分法とは、両辺の対数をとって微分を行う方法のことです。
例えば、以下のような問題について考えます。
例題の関数を微分する場合、商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ を利用することもできますが、微分の計算が複雑になります。
そこで、両辺に自然対数をとります。
(対数の真数条件から、\(\large{ y< 0 }\) となる場合があるため、絶対値をつけます。)
$$\large{\log|y\hspace{1pt}| = \log \left|\frac{(x+3)(x+2)}{x+1}\right|}$$
ここで、両辺を\(\large{x}\) で微分します。
左辺は、合成関数の微分 と 対数関数の微分から
$$\large{(\log |y\hspace{1pt}|)'=\frac{y\hspace{1pt}'}{y} \hspace{10pt}(1)}$$
が成り立ちます。
一方、右辺には 対数の公式を利用することで、積や商を簡単な関数に分解することができます。
上記の公式から、式を変形すると、以下のようになります。
このように式変形することで、元の関数よりも微分の計算がしやすくなります。
したがって、(1)式と(2)式から
したがって、
と求めることができます。
対数微分法は、\(\large{y=x^x}\) や \(\large{y=x^{\sin x}}\) などの関数の微分の計算にも用いられます。
【解答と解説】
問題の関数は、\(\large{x>0}\) であるため \(\large{y>0}\) となります。両辺に自然対数をとると
\begin{eqnarray}
\large
\log y&\large =&\large \log x^x\\[0.5em]
\large
&\large =&\large x \log x\\[0.5em]
\end{eqnarray}
ここで、両辺を\(\large{x}\) で微分すると、合成関数の微分から \(\displaystyle\large{(\log y)'=\frac{y\hspace{1pt}'}{y}}\) より
\begin{eqnarray}
\large
\frac{y\hspace{1pt}'}{y}&\large =&\large (x)' \log x + x (\log x)'\\[0.5em]
\large
&\large =&\large 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \log x +1\\[0.5em]
\end{eqnarray}
すなわち、
\begin{eqnarray}
\large
y\hspace{1pt}'&\large =&\large y \cdot (\log x +1)\\[0.5em]
\large
&\large =&\large x^x\hspace{1pt}(\log x +1)\\[0.5em]
\end{eqnarray}
と求められます。
本章では、対数微分法 に関連した問題について解説します。
問題(1)～(3)は、対数微分法を利用して 関数を対数の和や差の式に変換して微分する問題です。
問題(4)～(8)は、三角関数や対数関数を含む関数の微分を、対数微分法から求める問題です。
(解答と解説 : 問題(4) 問題(5) 問題(6) 問題(7) 問題(8))
【解答と解説】
両辺の絶対値の自然対数をとると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\large
\log |y|&\large =&\large \log \sqrt{(x+1)(2x+1)}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{2} (\log |x+1| + \log |2x+1| )\\[0.5em]
\end{eqnarray}
与えられた関数を\(\large{x}\)で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y} &\large =&\large \frac{1}{2} \left((\log |x+1|)' +( \log |2x+1|)' \right)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} \right)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} \frac{ 4x+3}{(x+1)(2x+1)}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \cdot \frac{1}{2} \frac{ 4x+3}{(x+1)(2x+1)}\\[0.5em] \large &\large =&\large \sqrt{(x+1)(2x+1)} \cdot \frac{1}{2} \frac{ 4x+3}{(x+1)(2x+1)}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{ 4x+3}{2\sqrt{(x+1)(2x+1)}}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
【解答と解説】
両辺の絶対値の自然対数をとると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\large
\log |y|&\large =&\large \log \left|\frac{(x+2)^3}{(x-5)^5}\right|\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \log| (x+2)^3|-\log |(x-5)^5|\\[0.5em]
\large
&\large =&\large 3\log| x+2|-5 \log |x-5|\\[0.5em]
\end{eqnarray}
上記の式を\(\large{x}\)で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y} &\large =&\large 3(\log| x+2|)'-5 (\log |x-5|)' \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{3}{x+2}-\frac{5}{x-5}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{3(x-5)-5(x+2)}{(x+2)(x-5)}\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{ 2x+25}{(x+2)(x-5)}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \cdot \left( -\frac{ 2x+25}{(x+2)(x-5)}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{(x+2)^3}{(x-5)^5} \cdot \left( -\frac{ 2x+25}{(x+2)(x-5)}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{(x+2)^2(2x+25)}{(x-5)^6}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
【解答と解説】
両辺の絶対値の自然対数をとると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\large
\log |y|&\large =&\large \log \sqrt[3]{\frac{x^2-3}{x^2-1}}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{3}\log \left|\frac{x^2-3}{x^2-1}\right|\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{3}\left(\log |x^2-3| - \log |x^2-1|\right)\\[0.5em]
\end{eqnarray}
上記の式を\(\large{x}\)で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y} &\large =&\large \frac{1}{3}\left( (\log |x^2-3|)' - (\log |x^2-1|)'\right) \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}\left( \frac{2x}{x^2-3} -\frac{2x}{x^2-1}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2x}{3}\cdot \frac{x^2-1-(x^2-3)}{(x^2-3)(x^2-1)}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2x}{3}\cdot \frac{2}{(x^2-3)(x^2-1)}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{4x}{3(x^2-3)(x^2-1)}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \cdot \frac{4x}{3(x^2-3)(x^2-1)}\\[0.5em] \large &\large =&\large \sqrt[3]{\frac{x^2-3}{x^2-1}} \cdot \frac{4x}{3(x^2-3)(x^2-1)}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{4x}{3(x^2-3)^\frac{2}{3}(x^2-1)^\frac{4}{3}}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
【解答と解説】
\(\large{x>0}\) であるから、\(\large{y=x^{\frac{1}{x}}>0}\) となります。
与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \log y&\large =&\large \log x^{\frac{1}{x}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{x} \log x\\[0.5em] \end{eqnarray} 両辺を \(\large{x}\) で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y}&\large =&\large \left(\frac{1}{x}\right)'\log x + \frac{1}{x}(\log x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1- \log x}{x^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large y \cdot \frac{ 1-\log x}{x^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1- \log x }{x^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large x^{\frac{1}{x}-2}(1-\log x)\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
【解答と解説】
\(\large{x>0}\) であるから、\(\large{y=x^{\sin x}>0}\) となります。
与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \log y&\large =&\large \log x^{\sin x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \sin x \log x\\[0.5em] \end{eqnarray} 両辺を \(\large{x}\) で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y}&\large =&\large (\sin x)'\log x + \sin x (\log x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \cdot \left(\cos x \log x + \frac{\sin x}{x}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large x^{\hspace{1pt}\sin x} \left(\cos x \log x + \frac{\sin x}{x}\right)\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
【解答と解説】
\(\large{x}\) は対数の真数であるため、\(\large{x>0}\) となります。つまり、\(\large{y=x^{\log x}>0}\) となります。
与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \log y&\large =&\large \log x^{\log x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \log x \cdot \log x\\[0.5em] \large &\large =&\large (\log x)^2\\[0.5em] \end{eqnarray} 両辺を \(\large{x}\) で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y}&\large =&\large 2 \log x \cdot \frac{1}{x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2\log x}{x}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \cdot \frac{2\log x}{x}\\[0.5em] \large &\large =&\large x^{\hspace{1pt}\log x} \cdot \frac{2\log x}{x}\\[0.5em] \large &\large =&\large 2 \hspace{1pt}x^{\hspace{1pt}\log x-1} \log x \\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
【解答と解説】
\(\large{x>1}\) であるから、\(\large{\log x > 0}\) すなわち、\(\large{y=(\log x)^x>0}\) となります。
与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \log y&\large =&\large \log \hspace{1pt}(\log x)^x\\[0.5em] \large &\large =&\large x \log \hspace{1pt}(\log x)\\[0.5em] \end{eqnarray} 両辺を \(\large{x}\) で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y}&\large =&\large (x)'\log \hspace{1pt}(\log x) + x (\log\hspace{1pt} (\log x))'\\[0.5em] \large &\large =&\large 1 \cdot \log \hspace{1pt}(\log x) + x \frac{(\log x)'}{\log x}\\[0.5em] \large &\large =&\large\log \hspace{1pt}(\log x) + x \frac{1}{x\log x} \\[0.5em] \large &\large =&\large \log \hspace{1pt} (\log x) + \frac{1}{\log x} \\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \cdot \left(\log \hspace{1pt}(\log x) + \frac{1}{\log x}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large (\log x)^x\left(\log \hspace{1pt}(\log x) + \frac{1}{\log x}\right)\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。
【解答と解説】
\(\large{0 < x < \pi}\) であるから、\(\large{\sin x > 0}\)、すなわち \(\large{y=(\sin x)^{\cos x}>0}\) となります。
与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \log y&\large =&\large \log \hspace{1pt}(\sin x)^{\cos x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \cos x \log \hspace{1pt}(\sin x)\\[0.5em] \end{eqnarray} 両辺を \(\large{x}\) で微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \frac{y\hspace{1pt}'}{y}&\large =&\large (\cos x)'\log \hspace{1pt}(\sin x) + \cos x (\log\hspace{1pt} (\sin x))'\\[0.5em] \large &\large =&\large -\sin x \log \hspace{1pt}(\sin x) + \cos x \frac{\cos x}{\sin x}\\[0.5em] \large &\large =&\large-\sin x \log \hspace{1pt}(\sin x) +\frac{\cos x}{\tan x}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 \begin{eqnarray} \large y\hspace{1pt}' &\large =&\large y \cdot \left(-\sin x \log \hspace{1pt}(\sin x) +\frac{\cos x}{\tan x}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large (\sin x)^{\cos x} \left(-\sin x \log \hspace{1pt}(\sin x) +\frac{\cos x}{\tan x}\right)\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。