ルート(無理関数)の微分

本項では、『ルートを含む関数の微分』 と 『関連する問題の解き方』について解説します。

【1】ルート(無理関数)の導関数

関数 \(\large{y=\sqrt{x}}\) の導関数は以下のように表されます。

・導関数の導出①

関数 \(\large{y=\sqrt{x}}\) の 導関数を導出します。

\(\large{n}\) が実数であるとき、べき関数 \(\large{y=x^n}\) の微分公式 $$\large{ (x^n)\hspace{1pt}' = n \hspace{1pt}x^{n-1}}$$ が成り立ちます。

ここで、指数法則から $$\large{\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}}$$ であることから、上記の微分公式より \begin{eqnarray} \large (\sqrt{x})\hspace{1pt}' &\large =&\large (x^\frac{1}{2})\hspace{1pt}'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2\sqrt{x}} \\[0.5em] \end{eqnarray} と導出されます。

・導関数の導出②

また、導関数の定義から \(\large{f(x)=\sqrt{x}}\) の導関数を求めます。

導関数の定義 $$\large{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ から、 \begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\[0.5em] \large &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{(x+h)-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2\sqrt{x}}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

したがって、\(\displaystyle \large{f(x)=\sqrt{x}}\) の導関数は \(\displaystyle\large{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\) となります。

【2】ルートを含む関数の微分

\(\large{y=\sqrt{f(x)}}\) の導関数は 合成関数の微分法から、以下のように求められます。

・例題(1)

【解答と解説】
合成関数の微分法から、以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large (\sqrt{ax+b})\hspace{1pt}' &\large =&\large \frac{1}{2}(ax+b)^{-\frac{1}{2}}\cdot a\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{a}{2}(ax+b)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{a}{2\sqrt{ax+b}} \\[0.5em] \end{eqnarray}

・例題(2)

【解答と解説】
本問は、\(\large{x\hspace{2pt}}\)の二乗をルートに含む関数の導関数を求める問題です。

\begin{eqnarray} \large (\sqrt{x^2+3})\hspace{1pt}' &\large =&\large \frac{1}{2}(x^2+3)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x\\[0.5em] \large &\large =&\large x(x^2+3)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} \\[0.5em] \end{eqnarray}

【3】問題と解き方

本章では、 ルートを含む関数の導関数の問題について解説します。

(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3) 問題(4) 問題(5))

(解答と解説 : 問題(6) 問題(7) 問題(8) 問題(9) 問題(10))

問題.1 半径aの円を表す関数の導関数

【解答と解説】
本問は、半径\(\large{a\hspace{1pt}}\)の円の上半分を表す関数の導関数を求める問題です。

\begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \left((a^2-x^2\hspace{1pt})^\frac{1}{2}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(a^2-x^2\hspace{1pt})^{\frac{1}{2}-1} \cdot (a^2-x^2)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(a^2-x^2\hspace{1pt})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x)\\[0.5em] \large &\large =&\large - x(a^2-x^2\hspace{1pt})^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large - \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2\hspace{1pt}}}\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題.2 積の微分公式を利用する問題

【解答と解説】
本問は、積の微分公式 $$\large{\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$ を利用して導関数を求める問題です。

と求められます。

問題.3 指数が有理数の関数の導関数

【解答と解説】
本問は、指数が有理数の関数の導関数を求める問題です。

指数法則から $$\large{\sqrt[5]{x^2}} = x^{\frac{2}{5}}$$ であることから、 \begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \left(\sqrt[5]{x^2}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \left(x^{\frac{2}{5}}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^3}} \\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題.4 ルートを含む分数関数の導関数

【解答と解説】
本問は、ルートを含む分数関数の導関数を求める問題です。

指数法則から $$\large{\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}}$$ であることから、 \begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2 x\sqrt{x}} \\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【別解と解説】
別解として分子が 1 のときの商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g\hspace{1pt}'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ から、 \begin{eqnarray} \large f\hspace{1pt}'(x) &\large =&\large \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large - \frac{(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large - \frac{1}{2x\sqrt{x}} \\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題.5 ルートを含む分数関数の導関数

【解答と解説】
本問は、ルートを含む分数関数の導関数を求める問題です。

指数法則から $$\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}} = (x^2+4)^{-\frac{1}{2}}}$$ であることから、 \begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \left((x^2+4)^{-\frac{1}{2}}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2}(x^2+4)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (x^2+4)'\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2}(x^2+4)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{x}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4} } \\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題.6 ルートの中に分数関数を含む関数の導関数

【解答と解説】
本問は、ルートの中に分数関数を含む関数の導関数を求める問題です。

商の微分公式 $$\large{ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ を利用して導関数を求めます。

と求められます。

問題.7 ルートにsinを含む関数の導関数

【解答と解説】
本問は、ルートに三角関数の \(\large{\sin}\) を含む導関数を求める問題です。

三角関数の微分公式より $$\large{(\sin x)' = \cos x}$$ を利用して計算します。

\begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \left(\sqrt{\sin x}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \left(\sin^{\frac{1}{2} }x\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\sin^{\frac{1}{2}-1}x \cdot (\sin x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(\sin x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \cos x\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x}} \\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題.8 ルートにtanを含む関数の導関数

【解答と解説】
本問は、ルートに三角関数の \(\large{\tan}\) を含む導関数を求める問題です。

三角関数の微分公式より $$\large{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}}$$ を利用して計算します。

\begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \left(\sqrt{\tan x}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \left(\tan^{\frac{1}{2} }x\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\tan^{\frac{1}{2}-1}x \cdot (\tan x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(\tan x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2 \cos^2 x \sqrt{\tan x}} \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\sqrt{\tan x}}{2 \cos^2 x \tan x} \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\sqrt{\tan x}}{2 \cos x \sin x} \\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、二倍角の公式から $$\large{2 \sin x \cos x = \sin 2 x}$$ であることから、 \begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \frac{\sqrt{\tan x}}{2 \cos x \sin x}\\[0.5em] &\large =&\large \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin 2x} \\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

問題.9 真数にルートを含む対数関数の導関数

【解答と解説】
本問は、真数にルートを含む対数関数の導関数を求める問題です。

自然対数の微分公式より $$\large{(\log x)' = \frac{1}{x}}$$ を利用して計算します。

となります。

問題.10 二重根号の関数の導関数

【解答と解説】
本問は、二重根号(ルートの中にルートがある)の関数の導関数を求める問題です。

\begin{eqnarray} \large f'(x) &\large =&\large \left(\sqrt{x + \sqrt{x}}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \left((x + x^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(x + x^\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x + x^\frac{1}{2})'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(x + x^\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2 + x^{-\frac{1}{2}}}{4 (x + x^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2x^{\frac{1}{2}} +1}{4 x^{\frac{1}{2}}(x + x^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2x^{\frac{1}{2}} +1}{4 (x^2 + x^\frac{3}{2})^\frac{1}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2\sqrt{x} +1}{4 \sqrt{x^2 + x\sqrt{x}}}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。