本項では、二倍角の公式 の証明と問題 について解説します。
二倍角の公式とは、角度\(\large{2\alpha}\) の三角関数を、角度\(\large{\alpha}\) の三角関数に変換する公式です。
二倍角の公式は、三角関数の加法定理から導出することができます。
以下に、公式の導出方法について解説します。
\(\large{\sin 2\alpha}\) の公式は、\(\large{\sin}\) の加法定理 $$\large{\sin(\alpha +\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$$ において \(\large{\alpha = \beta}\) とすると \begin{eqnarray} \large \sin(\alpha+\alpha)&\large =&\large \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha\\ \large \sin2\alpha&\large =&\large 2 \sin \alpha \cos \alpha\\ \end{eqnarray} と導かれます。
\(\large{\cos 2\alpha}\) の公式は、\(\large{\cos}\) の加法定理 $$\large{\cos(\alpha +\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$$ において \(\large{\alpha = \beta}\) とすると \begin{eqnarray} \large \cos(\alpha+\alpha)&\large =&\large \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha\\ \large \cos2\alpha&\large =&\large \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ \end{eqnarray} と導かれます。
ここで、相互関係の式 \(\large{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}\) から \(\large{\sin\hspace{2pt}}\),\(\large{\hspace{3pt}\cos}\) のどちらかに統一した式に変形することができます。
\(\large{\sin}\) のみの式に変形すると \begin{eqnarray} \large \cos2\alpha&\large =&\large \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ \large &\large =&\large (1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\ &\large =&\large 1-2\sin^2\alpha\\ \end{eqnarray} となります。
また、\(\large{\cos}\) のみの式に変形すると \begin{eqnarray} \large \cos2\alpha&\large =&\large \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ \large &\large =&\large \cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\ &\large =&\large 2\cos^2\alpha-1\\ \end{eqnarray} となります。
\(\large{\tan 2\alpha}\) の公式は、\(\large{\tan}\) の加法定理 $$\large{\tan(\alpha +\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}}$$ において \(\large{\alpha = \beta}\) とすると \begin{eqnarray} \large \tan(\alpha+\alpha)&\large =&\large \frac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1-\tan \alpha \tan \alpha}\\ \large &\large =&\large \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}\\ \end{eqnarray} と導かれます。
二倍角の公式の基礎的な問題と解き方について解説します。
【解答と解説】
まず、二倍角の公式を利用するために、\(\large{\cos\alpha}\) の値を求めます。
相互関係の式 \(\large{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}\) から
$$\large{\cos^2 \alpha = 1-\sin^2 \alpha = \frac{16}{25}}$$
ここで、\(\displaystyle\large{\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi}\) であることから、\(\large{\cos \alpha < 0}\) となるので
$$\large{\cos \alpha = -\frac{4}{5}}$$
となります。
\(\large{\sin\hspace{2pt}}\)の二倍角の公式 $$\large{\sin2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha}$$ から、 $$\large{\sin2\alpha = 2\times\frac{3}{5} \times\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}}$$ と求められます。
また、\(\large{\cos\hspace{2pt}}\)の二倍角の公式 $$\large{\cos2\alpha = \cos^2 \alpha-\sin^2\alpha}$$ から、 $$\large{\cos2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2- \left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{7}{25}}$$ と求められます。
また、\(\large{\tan2\alpha\hspace{2pt}}\)は $$\large{\tan 2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}}$$ から $$\large{\tan2\alpha = -\frac{24}{25}\times\frac{25}{7} = -\frac{24}{7}}$$ と求められます。
【解答と解説】
相互関係の式 \(\large{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}\) から
$$\large{\sin^2 \alpha = 1-\cos^2 \alpha = \frac{4}{5}}$$
ここで、\(\displaystyle\large{0 < \alpha < \pi}\) から \(\large{\sin \alpha > 0}\) であるため、
$$\large{\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}}$$
となります。
\(\large{\sin\hspace{2pt}}\)の二倍角の公式 $$\large{\sin2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha}$$ から、 $$\large{\sin2\alpha = 2 \times\frac{2}{\sqrt{5}}\times\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =-\frac{4}{5}}$$ と求められます。
また、\(\large{\cos\hspace{2pt}}\)の二倍角の公式 $$\large{\cos2\alpha = \cos^2 \alpha-\sin^2\alpha}$$ から、 $$\large{\cos2\alpha = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2- \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=-\frac{3}{5}}$$ と求められます。
また、\(\large{\tan2\alpha\hspace{2pt}}\)は $$\large{\tan 2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}}$$ から $$\large{\tan2\alpha = -\frac{4}{5}\times\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3}}$$ と求められます。
二倍角の公式の応用問題と解き方について解説します。
問題(3)は三角方程式に二倍角の公式を利用する問題です。
また、問題(4)は三角関数を含む不等式に二倍角の公式を利用する問題です。
【解答と解説】
問題の三角方程式に含まれる \(\large{\cos 2 \alpha}\) を二倍角の公式により変形します。
二倍角の公式 $$\large{\cos 2 \alpha = 2 \cos^2\alpha -1}$$ から問題の式を変形すると $$\large{(2 \cos^2\alpha -1) + \cos\alpha = 0}$$ となります。
上式で \(\large{\cos \alpha = t}\) と置換することで \(\large{t}\) に関する二次方程式として解きます。
ここで、\(\large{t}\) の範囲は \(\large{-1 \leqq t \leqq 1 }\) となります。
変数を \(\large{t}\) に置き換えると $$\large{2t^2 +t -1 = 0}$$ $$\large{(2t-1)(t+1)=0}$$ となります。
よって、\(\displaystyle\large{t=-1,\hspace{2pt}\frac{1}{2}}\) が \(\large{t}\) に関する方程式の解となります。
\(\large{\cos \alpha = t}\) であることから、\(\large{\cos \alpha = -1}\) を満たす解は \(\large{\alpha =\pi}\)、\(\displaystyle\large{\cos \alpha = \frac{1}{2}}\) を満たす解は \(\displaystyle\large{\alpha =\frac{\pi}{3},\hspace{2pt}\frac{5}{3}\pi}\) となります。
したがって、求める解\(\large{\alpha}\)は、 $$\large{\alpha =\frac{\pi}{3}, \hspace{2pt}\pi,\hspace{2pt}\frac{5}{3}\pi}$$ となります。
【解答と解説】
問題の三角関数の不等式に含まれる \(\large{\cos^2 \theta -\sin^2\theta}\)、 \(\large{2\sin\theta \cos\theta}\) を二倍角の公式により変形します。
二倍角の公式より $$\large{\cos 2 \theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta}$$ $$\large{\sin2\theta = 2\sin \theta \cos\theta}$$ から問題の式を変形すると $$\large{\cos2\theta + \sin2\theta \geqq 1}$$ となります。
上式に三角関数の合成を適応します。三角関数の合成は、 $$\large{a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin (\theta + \alpha)}$$ に対して、\(\large{r=\sqrt{a^2+b^2}}\)、\(\displaystyle \large{\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)、\(\displaystyle \large{\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\) を求めることで変形できます。
上記の不等式に、三角関数の合成を適用すると、 $$\large{\sin2\theta +\cos 2\theta = \sqrt{2}\sin(2\theta + \alpha)}$$ ここで、\(\large{\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}}\)、\(\displaystyle \large{\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}}\) であるため、 $$\large{\sin2\theta +\cos 2\theta = \sqrt{2}\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right)}$$ となります。
よって、問題の不等式は $$\large{\sqrt{2}\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right)\geqq 1}$$ $$\large{\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right)\geqq \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ となります。
上式を \(\displaystyle\large{2\theta + \frac{\pi}{4} = t}\) とおいて解きます。
このとき、\(\large{t}\) の範囲は、\(\large{0 \leqq \theta < \pi}\) であることから、
$$\large{0 \leqq 2\theta < 2\pi}$$
$$\large{\frac{\pi}{4} \leqq 2\theta+\frac{\pi}{4} < \frac{9}{4}\pi}$$
$$\large{\frac{\pi}{4} \leqq t < \frac{9}{4}\pi}$$
となります。
この範囲で三角関数の不等式 \(\displaystyle\large{\sin t \geqq \frac{1}{\sqrt{2}}}\) を解くと、 $$\large{\frac{\pi}{4} \leqq t \leqq \frac{3}{4}\pi}$$ となります。
\(\displaystyle\large{2\theta + \frac{\pi}{4} = t}\) であることから、 $$\large{0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}}$$ が求める解となります。