本ツールは以下の計算結果を出力します。
以下の黄色の枠内で 二次関数が通る3点の座標 (ただし、\(\large{x_1,\hspace{1pt}x_2,\hspace{1pt}x_3}\) は異なる値) を半角数字で入力し、『計算実行』を押してください。
【二次関数の通る座標の設定】
点A ( \(\large{x_1}\) , \(\large{y_1}\) )
点B ( \(\large{x_2}\) , \(\large{y_2}\) )
点C ( \(\large{x_3}\) , \(\large{x_3}\) )
【出力値の設定】
出力値の小数点以下の桁数
| 二次関数の係数 | |
|---|---|
| \(\large{a}\) | |
| \(\large{b}\) | |
| \(\large{c}\) |
| 頂点の座標(x,y) |
|---|
| x軸との交点(x,y) |
|---|
(※当サイトの提供する計算結果や情報については一切責任は負いません。)
本計算ツールの計算方法について説明します。
二次関数 \(\large{y=ax^2+bx+c}\) が 3つの座標 点\(\large{A\hspace{1pt}(x_1,\hspace{1pt}y_1)}\)、点\(\large{B\hspace{1pt}(x_2,\hspace{1pt}y_2)}\)、点\(\large{C\hspace{1pt}(x_3,\hspace{1pt}y_3)}\) (ただし、\(\large{x_1,\hspace{1pt}x_2,\hspace{1pt}x_3}\) は異なる値) を通るとします。
このとき、二次関数の係数 \(\large{a,\hspace{1pt}b,\hspace{1pt}c}\) は以下の式により与えられます。
それぞれの座標を二次関数の \(\large{y=ax^2+bx+c}\) に代入すると、以下の(1)～(3)式が成り立ちます。 \begin{eqnarray} \large y_1 &\large =& \large a \hspace{2pt} x_1^2+b \hspace{2pt} x_1 + c\hspace{10pt}(1)\\[0.5em] \large y_2 &\large =& \large a \hspace{2pt} x_2^2+b\hspace{2pt} x_2 + c\hspace{10pt}(2)\\[0.5em] \large y_3 &\large =& \large a\hspace{2pt} x_3^2+b\hspace{2pt} x_3 + c\hspace{10pt}(3)\\[0.5em] \end{eqnarray}
3点が異なる座標であることから、\(\large{x_1 \neq x_2}\)、\(\large{x_2 \neq x_3}\)、\(\large{x_1 \neq x_3}\) の条件を用いて、(1)～(3)式を解き、係数 \(\large{(a,\hspace{1pt}b,\hspace{1pt}c)}\) を求めます。
\(\large{(1)-(2)}\) 式から \begin{eqnarray} \large &&\large y_1 - y_2 = a (x_1^2-x_2^2) + b(x_1 - x_2)\\[0.5em] \large &&\large y_1 - y_2 -a (x_1^2-x_2^2) = b(x_1 - x_2)\hspace{15pt}(4)\\[0.5em] \end{eqnarray}
また、\(\large{(2)-(3)}\) 式から \begin{eqnarray} \large &&\large y_2 - y_3 = a (x_2^2-x_3^2) + b(x_2 - x_3)\\[0.5em] \large &&\large y_2 - y_3 -a (x_2^2-x_3^2)= b(x_2 - x_3)\hspace{15pt}(5)\\[0.5em] \end{eqnarray}
\(\large{(4) \div (5)}\) 式から \(\large{b}\) を削除して \(\large{a}\) を求めると、 \begin{eqnarray} \large &&\large \frac{y_1 - y_2 -a (x_1^2-x_2^2)}{y_2 - y_3 -a (x_2^2-x_3^2)} = \frac{x_1 - x_2}{x_2-x_3}\\[0.5em] \large &&\large a = \frac{(x_1-x_2)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \end{eqnarray} と求められます。
また、\(\large{(4)}\) 式から \(\large{b}\) を求めると、 $$\large{b= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}-a(x_1+x_2)}$$ となります。
また、\(\large{(1)}\)式から、\(\large{c}\) を求めると、 $$\large{c=y_1 - a\hspace{2pt}x_1^2-b\hspace{2pt}x_1}$$ となります。
また、二次関数の頂点 と \(\large{x}\)軸との交点については、二次関数の頂点とグラフの計算機と共通した計算であるため、省略します。
『出力値の小数点以下の桁数』では、入力された桁より1つ小さい桁で出力値を四捨五入します。
(例)『出力値の小数点以下の桁数』が2 → 出力が『10.59284...』の場合は、小数点以下3桁で四捨五入して『10.59』となります。