3点を通る二次関数の計算ツール

本ツールは以下の計算結果を出力します。

・3点を通る二次関数の係数
・頂点の座標, x軸との交点, グラフ

以下の黄色の枠内で二次関数が通る3点の座標 (ただし、x₁, x₂, x₃ は異なる値) を半角数字で入力し、『計算実行』を押してください。

【二次関数の通る座標の設定】
点A ( x₁ , y₁ )

点B ( x₂ , y₂ )

点C ( x₃ , y₃ )

【出力値の設定】
出力値の小数点以下の桁数

	二次関数の係数
a
b
c

頂点の座標(x,y)

x軸との交点(x,y)

(※当サイトの提供する計算結果や情報については一切責任は負いません。)

3点を通る二次関数の求め方

本計算ツールの計算方法について説明します。

3点を通る二次関数の係数の公式

二次関数 $\large{y=ax^2+bx+c}$ が 3つの座標点$\large{A\hspace{1pt}(x_1,\hspace{1pt}y_1)}$、点$\large{B\hspace{1pt}(x_2,\hspace{1pt}y_2)}$、点$\large{C\hspace{1pt}(x_3,\hspace{1pt}y_3)}$ (ただし、$\large{x_1,\hspace{1pt}x_2,\hspace{1pt}x_3}$ は異なる値) を通るとします。

このとき、二次関数の係数 $\large{a,\hspace{1pt}b,\hspace{1pt}c}$ は以下の式により与えられます。

【3点を通る二次関数の係数】

$\displaystyle\large{a = \frac{(x_1-x_2)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}}$
$\displaystyle\large{b= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}-a(x_1+x_2)}$
$\displaystyle\large{c=y_1 - a\hspace{2pt}x_1^2-b\hspace{2pt}x_1}$

3点を通る二次関数の係数の導出

それぞれの座標を二次関数の $\large{y=ax^2+bx+c}$ に代入すると、以下の(1)～(3)式が成り立ちます。 \begin{eqnarray} \large y_1 &\large =& \large a \hspace{2pt} x_1^2+b \hspace{2pt} x_1 + c\hspace{10pt}(1)\\[0.5em] \large y_2 &\large =& \large a \hspace{2pt} x_2^2+b\hspace{2pt} x_2 + c\hspace{10pt}(2)\\[0.5em] \large y_3 &\large =& \large a\hspace{2pt} x_3^2+b\hspace{2pt} x_3 + c\hspace{10pt}(3)\\[0.5em] \end{eqnarray}

3点が異なる座標であることから、$\large{x_1 \neq x_2}$、$\large{x_2 \neq x_3}$、$\large{x_1 \neq x_3}$ の条件を用いて、(1)～(3)式を解き、係数 $\large{(a,\hspace{1pt}b,\hspace{1pt}c)}$ を求めます。

$\large{(1)-(2)}$ 式から \begin{eqnarray} \large &&\large y_1 - y_2 = a (x_1^2-x_2^2) + b(x_1 - x_2)\\[0.5em] \large &&\large y_1 - y_2 -a (x_1^2-x_2^2) = b(x_1 - x_2)\hspace{15pt}(4)\\[0.5em] \end{eqnarray}

また、$\large{(2)-(3)}$ 式から \begin{eqnarray} \large &&\large y_2 - y_3 = a (x_2^2-x_3^2) + b(x_2 - x_3)\\[0.5em] \large &&\large y_2 - y_3 -a (x_2^2-x_3^2)= b(x_2 - x_3)\hspace{15pt}(5)\\[0.5em] \end{eqnarray}

$\large{(4) \div (5)}$ 式から $\large{b}$ を削除して $\large{a}$ を求めると、 \begin{eqnarray} \large &&\large \frac{y_1 - y_2 -a (x_1^2-x_2^2)}{y_2 - y_3 -a (x_2^2-x_3^2)} = \frac{x_1 - x_2}{x_2-x_3}\\[0.5em] \large &&\large a = \frac{(x_1-x_2)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \end{eqnarray} と求められます。

また、$\large{(4)}$ 式から $\large{b}$ を求めると、 $$\large{b= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}-a(x_1+x_2)}$$ となります。

また、$\large{(1)}$式から、$\large{c}$ を求めると、 $$\large{c=y_1 - a\hspace{2pt}x_1^2-b\hspace{2pt}x_1}$$ となります。

また、二次関数の頂点と $\large{x}$軸との交点については、二次関数の頂点とグラフの計算機と共通した計算であるため、省略します。