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【関連項目の一覧】

◆三角比

三角比の定義三角比の相互関係三角比の拡張 90°-θ,180°-θの式正弦定理余弦定理

◆三角関数

弧度法

単位円と三角関数の定義

三角関数の性質三角関数のグラフ三角方程式三角方程式の解の個数不等式最大値・最小値

◆加法定理

加法定理二倍角の公式半角の公式三倍角の公式積和の公式・和積の公式三角関数の合成

◆計算ツール

三角関数の値三角関数のグラフ作成余弦定理三角形の面積(ヘロンの公式) 三角形の面積(2辺と間の角度)

単位円と三角関数の定義

本項では以下の内容を解説しています。

・単位円とは
・三角関数の定義, 値の一覧
・三角関数の値を求める練習問題

1. 単位円と三角関数の定義
2. 弧度法による角度
3. 三角関数の値の求め方
4. 三角関数の値を求める問題

【1】単位円と三角関数の定義

三角比の定義では、三角比は直角三角形で定義されていたため、$\large{0° < \theta < 90°}$ の範囲でのみ扱っていました。
また、鈍角の角度に対応するため、直角三角形の代わりに $\large{xy}$座標で三角比を定義することで、 $\large{0° \leqq \theta \leqq 180°}$ の角度に三角比を拡張をしました。

三角形の角度の計算であれば $\large{0° \leqq \theta \leqq 180°}$ の範囲で十分でしたが、三角比を関数として扱う場合は、任意の角度$\large{\theta}$ について定義する必要があります。

そこで、単位円という半径が1の円を導入し、単位円の円周上の座標を利用して、三角関数を定義します。
本章では、単位円と三角関数の定義について解説します。

【1-1】単位円とは

単位円とは、半径が1の円のことをいいます。

下図のように、単位円を図示するときは、$\large{xy}$座標の原点$\large{O}$ が中心となるように半径1の円を描きます。 $単位円(半径1,中心が原点の円)に始線と動径を描いた説明図$

単位円と $\large{x}$軸の正の交点を点$\large{A}$ とします。また、単位円上に点$\large{P(x,y)}$をとります。

このとき、原点$\large{O}$と点$\large{A}$からなる線分$\large{\overline{OA}}$ を始線といいます。また、原点$\large{O}$ から点$\large{P}$の線分 $\large{\overline{OP}}$ を動径といいます。

この始線から動径までを反時計回りに計った角度を、正の角度$\large{\theta}$ と定義します。
また、始線に対して時計回りに計った角度を負の角度$\large{\theta}$ と定義します。

【1-2】単位円と三角関数

ここで、単位円における角度$\large{\theta}$ を持つ三角形$\large{POH}$を描きます。
単位円上の点$\large{P}$ から $\large{x}$軸に下した垂線の足を点$\large{H}$ とします。

三角比の定義から、角度$\large{\theta}$ に対する $\large{\sin \theta}$ と $\large{\cos \theta}$ を求めます。 $単位円を使用した三角関数sin,conの定義$

単位円は半径1の円であるため、図のように単位円に描かれた三角形は、斜辺の大きさが1の三角形となります。すなわち、 $$\large{\sin \theta =\frac{\overline{PH}}{\overline{OP}}= \frac{y}{1} = y}$$ $$\large{\cos \theta =\frac{\overline{OH}}{\overline{OP}}= \frac{x}{1} = x}$$ となります。

よって、単位円上の点$\large{P(x,y)}$は $\large{y}$座標が $\large{\sin \theta}$、$\large{x}$座標が $\large{\cos \theta}$ となります。

【1-3】単位円とタンジェントの定義

次に、単位円における正接(タンジェント)について解説します。

下図のように $\large{x=1}$ と動径$\large{\overline{OP}}$ を延長した交点を $\large{Q(1,m)}$ とします。
このとき、図中に黄色で示している三角形$\large{QOA}$に着目します。 $単位円を使用した三角関数tanの定義$

三角比の定義から、角度$\large{\theta}$ をもつ三角形$\large{QOA}$のタンジェントは $$\large{\tan \theta =\frac{\overline{QA}}{\overline{OA}}= m}$$ となります。

このように、単位円におけるタンジェントは、動径$\large{\overline{OP}}$を延長し、$\large{x=1}$との交わる点$\large{Q}$ の $\large{y}$座標と定義することができます。

動径$\large{\overline{OP}}$を直線の方程式で記述すると、$\large{y=mx}$ となります。つまり、$\large{m}$ とは動径$\large{\overline{OP}}$ を式で表した時の直線の傾きを表しています。

また、角度$\large{\theta}$が $\large{90°< \theta < 180°}$ の場合は、以下の図のように、動径を延長し、$\large{x=1}$ との交わる点の $\large{y}$座標から定義できます。 $単位円を使用した三角関数tanの定義$

$\large{\tan \theta}$ は、$\large{\sin \theta}$ と $\large{\cos \theta}$ に対して $$\displaystyle \large{\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$$ の関係があるため、点$\large{P(x,y)}$ の座標を使用して、 $$\displaystyle \large{\tan \theta = \frac{y}{x}}$$ と考えても、間違いではありません。しかし、この定義では $\large{\tan \theta}$ の値や符号を考えるときに、$\large{\sin \theta}$、$\large{\cos \theta}$ の値を経由して考える必要があります。

一方、$\large{\tan \theta = m}$ の定義では、$\large{\tan \theta}$ を直接に定義することができます。また、『$\large{\tan \theta}$ は動径の傾きである』と考えることで、$\large{\tan \theta}$ の符号が直観的に分かりやすくなります。

・タンジェントが定義されない角度

ここで、角度 $\large{\theta = 90°}$ では、$\large{x=1}$ の直線と交わらなくなるため、$\large{\tan \theta}$ は定義されません。
$\large{\tan \theta}$ の定義されない角度は、$\large{180°}$ ごとに存在します。整数を$\large{n}$とすると $$\large{\theta = 90°+180°\times n}$$ (もしくは、$\large{\theta = \frac{1}{2}\pi+n\pi}$) において $\large{\tan \theta}$ が定義されません。

三角関数 $\large{y=\tan \theta}$ のグラフでは、この定義されない角度の位置に漸近線を持ちます。
(三角関数のグラフについては別ページで解説しています。)

【2】単位円と弧度法による角度

三角関数に使用する角度には、弧度法が使用されます。

弧度法とは、角度を『円の半径』と『円弧の長さ』の比により表す表記方法です。(詳しくは、弧度法で解説しています。)

弧度法では、円の一周分の角度を $\large{2 \pi}$ とします。したがって、$\large{2 \pi = 360°}$ となります。
また、円の4分の1にあたる直角 $\large{90°}$ は、$\displaystyle \large{\frac{\pi}{2}}$ となります。

同様に、$\displaystyle \large{\frac{1}{6}\pi = 30°}$、$\displaystyle \large{\frac{1}{4}\pi = 45°}$、$\displaystyle \large{\frac{1}{3}\pi = 60°}$ となります。

弧度法による角度を、単位円上にまとめた図を示します。三角関数の値や符号を考えるときに、単位円上の位置を覚えておくと便利です。 $単位円と弧度法による角度の関係$

また、以下に度数法[°] と弧度法[rad] の一覧表を示します。 $度数法[°]と弧度法[rad]の角度の表記の一覧表$

【3】三角関数の値の求め方

本章では、三角関数の基本となる $\large{0° \leqq \theta \leqq 360°}$ の範囲で代表的な三角関数の値について解説します。

三角関数の値は、象限ごとに符号が変化する点がややこしいですが
『三角関数の定義』と『単位円上の角度の位置関係』
を考えることで各象限の三角関数の値をわかりやすく求めることができます。

・sinの値の求め方

角度 $\displaystyle \large{\theta = \frac{\pi}{6},\hspace{2pt}\frac{5}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{7}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{11}{6}\pi\hspace{2pt}}$の4つの角度に対応する $\large{\sin \theta}$ の値について考えます。

第1章の三角関数の定義から、$\large{\sin \theta}$ は単位円上の点$\large{P(x,y)}$の $\large{y}$ 座標の値、すなわち $$\large{\sin \theta = y}$$ となります。

ここで、$\displaystyle \large{\theta = \frac{\pi}{6},\hspace{2pt}\frac{5}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{7}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{11}{6}\pi\hspace{2pt}}$を単位円上に図示します。 $単位円の定義による三角関数sinの値$

まず、弧度法の$\large{\displaystyle \hspace{2pt} \frac{\pi}{6}}$ は$\large{\hspace{2pt}30°\hspace{2pt}}$の大きさの角度を表します。
つまり、角度$\displaystyle \large{\frac{\pi}{6}}$の三角比は、30°の角度をもつ直角三角形における三角比と同じであり、 $$\large{\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}}$$ となります。

残りの $\displaystyle \large{\theta =\frac{5}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{7}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{11}{6}\pi\hspace{2pt}}$ の $\large{\sin \theta}$ の値は、単位円上の $\large{\displaystyle\frac{\pi}{6}}$ との位置関係により求めることができます。

上図より角度$\large{\displaystyle \frac{5}{6} \pi}$ は角度$\large{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$ と単位円上で$\large{\color{red}{y}}$軸に関して対称な位置にあります。
$\large{\sin \theta}$ は単位円の $\large{y}$座標の値に等しいため、$\displaystyle \large{\sin \frac{\pi}{6}}$ と $\large{\displaystyle \sin \frac{5}{6} \pi}$ は同じ値を持ちます。 $$\large{\sin \frac{\pi}{6} = \sin \frac{5}{6}\pi = \frac{1}{2}}$$

一方、上図から角度$\large{\displaystyle \frac{7}{6} \pi, \hspace{2pt} \frac{11}{6} \pi}$ は $\large{\displaystyle \frac{\pi}{6},\hspace{2pt} \frac{5}{6}\pi}$ と単位円上で$\large{\color{blue}{x}}$軸に関して対称な位置にあります。

$\large{\sin \theta}$ は単位円の $\large{y}$座標の値に等しいため、 $\large{\displaystyle \sin \frac{\pi}{6}}$ の符号を反転させて、 $$\large{\sin \frac{7}{6}\pi = \sin \frac{11}{6}\pi = -\frac{1}{2}}$$ となります。

・cosの値の求め方

$\displaystyle \large{\theta = \frac{\pi}{6},\hspace{2pt}\frac{5}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{7}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{11}{6}\pi\hspace{2pt}}$の4つの $\large{\cos \theta}$ の値について考えます。

第1章の三角関数の定義から、$\large{\cos \theta}$ は単位円上の点$\large{P(x,y)}$ の $\large{x}$ 座標の値、すなわち $$\large{\cos \theta = x}$$ となります。

角度$\displaystyle \large{\frac{\pi}{6}}$の三角比は、30°の角度をもつ直角三角形における三角比と同じであり、 $$\large{\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ となります。

単位円上の $\large{\displaystyle\frac{\pi}{6}}$ との位置関係により、残りの $\displaystyle \large{\theta =\frac{5}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{7}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{11}{6}\pi\hspace{2pt}}$の $\large{\cos \theta}$ の値を考えます。

上図から角度$\large{\displaystyle \frac{11}{6} \pi}$ は $\large{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$ と単位円上で$\large{\color{blue}{x}}$軸に関して対称な位置にあります。

ここで、$\large{\cos \theta}$ は単位円の $\large{x}$座標の値に等しいため、角度$\large{\displaystyle \frac{11}{6} \pi}$ は、角度$\large{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$ と同じ値を持つため、 $$\large{\cos \frac{11}{6}\pi = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ となります。

また、上図から、角度$\large{\displaystyle \frac{5}{6} \pi}$、$\large{\displaystyle \frac{7}{6} \pi}$ は角度$\large{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$、$\large{\displaystyle \frac{11}{6} \pi}$ と単位円上で$\large{\color{red}{y}}$軸に関して対称な位置にあります。

ここで、$\large{\cos \theta}$ は単位円の $\large{x}$座標の値に等しいため、$\displaystyle \large{\cos \frac{5}{6}\pi}$ と $\large{\displaystyle \cos \frac{7}{6} \pi}$は、 $\displaystyle \large{\cos \frac{\pi}{6}}$ の符号を反転した関係にあります。 $$\large{\cos \frac{5}{6}\pi = \cos \frac{7}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

・tanの値の求め方

$\displaystyle \large{\theta = \frac{\pi}{6},\hspace{2pt}\frac{5}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{7}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{11}{6}\pi\hspace{2pt}}$の4つの角度の $\large{\tan \theta}$ の値について考えます。

第1章の三角関数の定義から、$\large{\tan \theta}$ は単位円の動径を延長した線と、$\large{x=1}$との交点$\large{Q(1,m)}$の $\large{y}$ 座標の値であり、 $$\large{\tan \theta = m}$$ となります。

ここで、角度$\displaystyle \large{\frac{\pi}{6}}$の $\large{\tan \theta}$ は、角度30°の直角三角形の三角比となるため、 $$\large{\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ となります。

$\displaystyle \large{\theta = \frac{\pi}{6},\hspace{2pt}\frac{5}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{7}{6}\pi,\hspace{2pt}\frac{11}{6}\pi\hspace{2pt}}$を単位円上に図示します。 $単位円の定義による三角関数tanの値$

上図に示すように、$\displaystyle \large{\tan \frac{7}{6} \pi}$ は、$\large{\displaystyle \tan \frac{\pi}{6}}$と交点の$\large{y}$座標が一致するため、同じ値となります。したがって、 $$\large{\tan \frac{\pi}{6} =\tan \frac{7}{6} \pi = \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ となります。

また、$\displaystyle \large{\tan \frac{5}{6} \pi}$、$\displaystyle \large{\tan \frac{11}{6} \pi}$ は、$\displaystyle \large{\frac{\pi}{6}}$ のときの交点の $\large{y}$座標の値と $\large{x}$軸に関して対称な位置となります。つまり、 $$\large{\tan \frac{5}{6}\pi =\tan \frac{11}{6} \pi = -\frac{1}{\sqrt{3}}}$$ となります。

三角関数の値の一覧

三角関数の $\large{0° \leqq \theta \leqq 360°}$ における代表的な値を以下の表にまとめます。 $三角関数sin,cos,tanの値_0°～180°$

$三角関数sin,cos,tanの値_180°～360°$

単位円は、$\large{2 \pi \hspace{1pt}(360°)}$ だけ角度が異なると、一周回転し、動径の位置が一致します。

したがって、$\large{2 \pi}$ の整数倍だけ角度が異なる場合は、その三角関数の値も同じ値になります。
つまり、$\large{n}$を整数とすると、 $$\large{\sin (\theta + 2 n \pi) = \sin \theta}$$ $$\large{\cos (\theta + 2 n \pi) = \cos \theta}$$ $$\large{\tan (\theta + 2 n \pi) = \tan \theta}$$ が成り立ちます。

例えば、$\displaystyle \large{\theta = \frac{9}{4} \pi}$ のとき、 $$\large{\frac{9}{4} \pi = \frac{1}{4} \pi + 2 \pi}$$ であるから、 $$\large{\sin \frac{9}{4}\pi = \sin \frac{1}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ と求めることができます。

上記に、三角関数の $\large{0° \leqq \theta \leqq 360°}$ の一覧を示しましたが、角度$\large{\theta}$ が負のときや、$\large{360°}$ を超える範囲では、『表中の角度から $\large{2 \pi}$ の整数倍だけずれている』と考え、表中の値に変換して三角関数の値を求めることができます。

三角関数の符号の一覧

三角関数はその角度の象限の位置によって、決まった符号を持ちます。
以下に三角関数の各象限における符号を図示します。 $象限ごとの三角関数の符号の一覧$

【4】三角関数の値を求める問題

本章では、三角関数の値の問題について解説します。

【4-1】角度からsin,cos,tanを求める問題

【練習問題】

角度 $\large{\displaystyle \theta = \frac{7}{3}\pi}$ のとき　　
(1)$\large{\sin \theta}$, (2)$\large{\cos \theta}$, (3)$\large{\tan \theta}$ を求めよ。

【解答と解説】
$$\displaystyle \large{\frac{7}{3}\pi = \frac{1}{3}\pi + 2\pi}$$ であるため、$\displaystyle \large{\frac{7}{3}\pi}$ の三角関数は、$\displaystyle \large{\frac{1}{3}\pi}$ の三角関数の値と等しくなります。

つまり、 $$\displaystyle \large{\sin \frac{7}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$\displaystyle \large{\cos \frac{7}{3}\pi = \frac{1}{2}}$$ $$\displaystyle \large{\tan \frac{7}{3}\pi = \sqrt{3}}$$ となります。

【4-2】負の角度のsin,cos,tanを求める問題

【練習問題】

角度 $\large{\displaystyle \theta = -\frac{1}{4}\pi}$ のとき　　
(1)$\large{\sin \theta}$, (2)$\large{\cos \theta}$, (3)$\large{\tan \theta}$ を求めよ。

【解答と解説】
$$\displaystyle \large{-\frac{1}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi - 2\pi}$$ であるため、$\displaystyle \large{-\frac{1}{4}\pi}$ の三角関数は、$\displaystyle \large{\frac{7}{4}\pi}$ の三角関数の値と等しくなります。

角度が $\large{\displaystyle \large{\frac{7}{4}\pi}}$ のとき、$\large{\cos \theta}$ は正の値、$\large{\sin \theta}$ と $\large{\tan \theta}$ は負の値となります。

以上から、 $$\displaystyle \large{\sin \left(-\frac{1}{4}\pi \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}}$$ $$\displaystyle \large{\cos \left(-\frac{1}{4}\pi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ $$\displaystyle \large{\tan \left(-\frac{1}{4}\pi \right) = -1}$$ となります。