本項では、半角の公式 の証明と問題 について解説します。
半角の公式とは、角度\(\displaystyle \large{\frac{\alpha}{2}}\) の三角関数を、角度\(\large{\alpha}\) の三角関数に変換する公式です。
半角の公式は、\(\large{\cos}\) の二倍角の公式
\begin{eqnarray}
\large
\cos2\alpha&\large =&\large \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\
\large
&\large =&\large 1-2\sin^2 \alpha\\
&\large =&\large 2\cos\alpha^2-1\\
\end{eqnarray}
を変形することで導出することができます。
以下に、半角の公式の導出について解説します。
\(\large{\cos}\) の二倍角の公式から $$\large{\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}}$$ が成り立ちます。
上式で \(\large{\alpha}\) を \(\displaystyle\large{\frac{\alpha}{2}}\) とすることで $$\large{\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}}$$ が導かれます。
\(\large{\cos}\) の二倍角の公式から $$\large{\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}}$$ が成り立ちます。
上式で \(\large{\alpha}\) を \(\displaystyle\large{\frac{\alpha}{2}}\) とすることで $$\large{\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}}$$ が導かれます。
また、\(\large{\sin}\) と \(\large{\cos}\) の半角の式から、 $$\large{\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}}$$ であるので、 \begin{eqnarray} \large \tan^2\frac{\alpha}{2}&\large =&\large \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}\\ \large &\large =&\large \frac{1-\cos\alpha}{2} \times\frac{2}{1+\cos\alpha}\\ &\large =&\large \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\\ \end{eqnarray}
半角の公式を利用した問題と解き方について解説します。
問題(1)、問題(2)、問題(3) は度数法によって角度を表現した場合の問題です。
問題(4)、問題(5)、問題(6) は弧度法により角度を表現した場合の問題です。
問題(7)は半角の公式を利用して、角度\(\large{\alpha}\) の三角関数から 角度\(\large{\displaystyle\frac{\alpha}{2}}\) の三角関数を求める問題です。
【解答と解説】
\(\large{\sin}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}}\) から、
\begin{eqnarray}
\large
\sin^2 22.5°&\large =&\large \frac{1-\cos 45°}{2}\\
\large
&\large =&\large \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\
&\large =&\large \frac{2-\sqrt{2}}{4}\\
\end{eqnarray}
ここで、\(\large{\sin 22.5° > 0}\) より
\begin{eqnarray}
\large
\sin 22.5°&\large =&\large \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}\\
\large
&\large =&\large\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\\
\end{eqnarray}
と求められます。
【解答と解説】
\(\large{\cos}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}}\) から、
\begin{eqnarray}
\large
\cos^2 67.5°&\large =&\large \frac{1+\cos 135°}{2}\\
\large
&\large =&\large \frac{1+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}\\
&\large =&\large \frac{2-\sqrt{2}}{4}\\
\end{eqnarray}
ここで、\(\large{\cos 67.5° > 0}\) より
$$\large{\cos 67.5° = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$$
と求められます。
【解答と解説】
\(\large{\tan}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\) から、
\begin{eqnarray}
\large
\tan^2 75°&\large =&\large \frac{1-\cos 150°}{1+\cos 150°}\\
\large
&\large =&\large \frac{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\\
&\large =&\large 7+4\sqrt{3}\\
\end{eqnarray}
ここで、\(\large{\tan 75° > 0}\) より
\begin{eqnarray}
\large
\tan 75°&\large =&\large \sqrt{ 7+4\sqrt{3}}\\
\end{eqnarray}
と求められます。
【解答と解説】
\(\large{\sin}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}}\) から、
\begin{eqnarray}
\large
\sin^2 \frac{\pi}{12}&\large =&\large \frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}\\
\large
&\large =&\large \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\\
&\large =&\large \frac{2-\sqrt{3}}{4}\\
\end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\large{\sin \frac{\pi}{12} > 0}\) より
$$\large{\sin \frac{\pi}{12} =\frac{ \sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$$
と求められます。
【解答と解説】
\(\large{\cos}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}}\) から、
\begin{eqnarray}
\large
\cos^2 \frac{\pi}{8}&\large =&\large \frac{1+\cos \frac{\pi}{4}}{2}\\
\large
&\large =&\large \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\
&\large =&\large \frac{2+\sqrt{2}}{4}\\
\end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\large{\cos \frac{\pi}{8} > 0}\) より
$$\large{\cos \frac{\pi}{8} =\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$$
と求められます。
【解答と解説】
\(\large{\tan}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}\) から、
\begin{eqnarray}
\large
\tan^2 \frac{5}{8}\pi&\large =&\large \frac{1-\cos \frac{5}{4}\pi}{1+\cos \frac{5}{4}\pi}\\
\large
&\large =&\large \frac{1-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{1+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\\
&\large =&\large 3+2\sqrt{2}\\
\end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\large{\tan \frac{5}{8}\pi < 0}\) より
$$\large{\tan \frac{5}{8}\pi =-\sqrt{3+2\sqrt{2}}}$$
と求められます。
まず、半角の公式を利用するため、相互関係の式 \(\large{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1}\) から \(\large{\cos \alpha}\) の値を求めます。
$$\large{\cos^2 \alpha = 1-\sin^2 \alpha = \frac{2}{3}}$$ ここで、\(\displaystyle \large{\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi }\) より、\(\large{\cos \alpha < 0}\) であるため、 $$\large{\cos \alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}}}$$ となります。
\(\large{\sin}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}}\) から、 $$\large{\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}{2}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}}$$ ここで、\(\displaystyle \large{\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} }\) より、\(\displaystyle\large{\sin \frac{\alpha}{2}> 0}\) であるため、 $$\large{\sin\frac{\alpha}{2} =\sqrt{\frac{3+\sqrt{6}}{6}}}$$
\(\large{\cos}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}}\) から、 $$\large{\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}{2}=\frac{3-\sqrt{6}}{6}}$$ ここで、\(\displaystyle \large{\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} }\) より、\(\displaystyle\large{\cos \frac{\alpha}{2}> 0}\) であるため、 $$\large{\cos\frac{\alpha}{2} =\sqrt{\frac{3-\sqrt{6}}{6}}}$$
\(\large{\tan}\) の半角の公式 \(\displaystyle\large{\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}\) から、 $$\large{\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}{1+\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}=5+2\sqrt{6}}$$ ここで、\(\displaystyle \large{\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} }\) より、\(\displaystyle\large{\tan \frac{\alpha}{2}> 0}\) であるため、 $$\large{\tan\frac{\alpha}{2} =\sqrt{5+2\sqrt{6}}}$$