三倍角の公式 の証明と問題

本項では、三倍角の公式 の証明と問題 について解説します。

【1】三倍角の公式の証明

三倍角の公式とは、角度\(\displaystyle \large{\hspace{1pt}3\alpha}\) の三角関数を 角度\(\displaystyle \large{\alpha}\) の三角関数に変換する公式です。

三倍角の公式は、加法定理 と 二倍角の公式 から導出することができます。

以下に、三倍角の公式の導出について解説します。

・sinの三倍角の公式

\(\large{\sin}\) の加法定理 $$\large{\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$$ と 二倍角の公式 $$\large{\cos 2\theta = 1-2\sin^2 \theta}$$ から \(\large{\sin}\) の三倍角の公式を求めます。

\(\large{3\theta = 2\theta + \theta}\) として加法定理を利用すると、 \begin{eqnarray} \large \sin (2\theta + \theta)&\large =&\large \sin 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta \sin \theta\\[0.5em] &\large =&\large 2\sin\theta \cos \theta \cdot\cos \theta + (1-2\sin^2\theta)\sin \theta\\[0.5em] &\large =&\large 2\sin\theta (1-\sin^2 \theta) +\sin \theta -2\sin^3\theta\\[0.5em] &\large =&\large 3\sin \theta -4\sin^3\theta\\ \end{eqnarray}

・cosの三倍角の公式

\(\large{\cos}\) の加法定理 $$\large{\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$$ と 二倍角の公式 $$\large{\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta-1}$$ から \(\large{\cos}\) の三倍角の公式を求めます。

\(\large{3\theta = 2\theta + \theta}\) として加法定理を利用すると、 \begin{eqnarray} \large \cos (2\theta + \theta)&\large =&\large \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta\\[0.5em] &\large =&\large ( 2\cos^2 \theta-1)\cos \theta - 2\sin\theta\cos\theta\cdot\sin\theta\\[0.5em] &\large =&\large 2\cos^3\theta-\cos\theta - 2(1-\cos^2\theta)\cos\theta\\[0.5em] &\large =&\large -3\cos\theta +4\cos^3\theta\\ \end{eqnarray}

・tanの三倍角の公式

\(\large{\tan}\) の加法定理 $$\large{\tan(\alpha +\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}}$$ と 二倍角の公式 $$\large{\tan 2\theta = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}}$$ から \(\large{\cos}\) の三倍角の公式を求めます。

\(\large{3\theta = 2\theta + \theta}\) として加法定理を利用すると、 \begin{eqnarray} \large \tan (2\theta + \theta)&\large =&\large \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1-\tan 2\theta \tan \theta}\\[0.7em] &\large =&\large\frac{ \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} + \tan \theta}{1- \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} \tan \theta}\\[0.7em] &\large =&\large \frac{ 2\tan \theta + \tan \theta(1-\tan^2 \theta)}{1-\tan^2 \theta- 2\tan \theta \tan \theta}\\[0.7em] &\large =&\large \frac{ \tan^3 \theta -3\tan \theta}{3\tan^2 \theta-1}\\ \end{eqnarray}

【2】問題と解き方

三倍角の公式を利用した問題について解説します。

問題(1)は、三倍角の公式を利用して、角度\(\large{\hspace{2pt}\theta}\) の三角関数から \(\large{3\theta}\) の三角関数に変換する問題です。

問題(2),問題(3)は、三倍角の公式を利用して三角方程式を解く問題です。

問題(1) sin3θ,cos3θ,tan3θの計算

【解答と解説】
まず、相互関係の式 \(\large{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1}\) から \(\large{\cos \theta}\) の値を求めます。

$$\large{\cos^2 \theta = 1-\sin^2 \theta = \frac{15}{16}}$$ ここで、\(\displaystyle \large{\frac{\pi}{2} < \theta < \pi }\) より、\(\large{\cos \theta < 0}\) であるため、 $$\large{\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}}$$ となります。

\(\large{\sin}\) の三倍角の公式 \(\displaystyle\large{\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta}\) から、 \begin{eqnarray} \large \sin3\theta&\large =&\large 3\times\frac{1}{4} -4\left(\frac{1}{4}\right)^3\\[0.3em] &\large =&\large\frac{3}{4}-\frac{1}{16}\\[0.5em] &\large =&\large \frac{11}{16}\\[0.5em] \end{eqnarray}

また、\(\large{\cos}\) の三倍角の公式 \(\displaystyle\large{\cos3\theta = -3\cos\theta +4\cos^3\theta}\) から、 \begin{eqnarray} \large \cos3\theta&\large =&\large -3\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) +4\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^3\\[0.5em] &\large =&\large \frac{3\sqrt{15}}{4} -\frac{15\sqrt{15}}{16}\\[0.5em] &\large =&\large \frac{-3\sqrt{15}}{16}\\[0.5em] \end{eqnarray}

\(\large{\tan3\theta}\) は \(\large{\sin3\theta}\) と \(\large{\cos3\theta}\) の計算結果から求めます。 \begin{eqnarray} \large \tan3\theta&\large =&\large \frac{\sin3\theta}{\cos3\theta}\\[0.5em] &\large =&\large \frac{11}{16}\times\left(-\frac{16}{3\sqrt{15}}\right)\\[0.5em] &\large =&\large -\frac{11\sqrt{15}}{45}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(2) cos3θを含む三角方程式

【解答と解説】
問題の三角方程式には、角度\(\large{\hspace{2pt}3\theta}\) の三角関数が含まれており、\(\large{\cos}\) の三倍角の公式 $$\large\cos3\theta = -3\cos\theta +4\cos^3\theta$$ を利用して \(\large{\cos\theta}\) に統一した式に変形します。

問題の式を変形すると、 $$\large{ -3\cos\theta +4\cos^3\theta +\cos\theta= 0}$$ $$\large{ 4\cos^3\theta -2\cos\theta= 0}$$ $$\large{\cos\theta\left(\cos^2 \theta -\frac{1}{2}\right) = 0}$$ $$\large{\cos\theta\left(\cos\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0}$$

すなわち、問題の三角方程式の解は \(\displaystyle\large{\cos\theta=0,\hspace{2pt}\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{2pt}- \frac{1}{\sqrt{2}}}\) を満たす \(\large{\theta}\) となります。

問題の \(\large{\theta}\) の範囲 \(\displaystyle \large{0 \leqq \theta \leqq \pi}\) において
\(\displaystyle\large{\cos\theta=0}\) を満たす \(\large{\theta}\) は \(\displaystyle\large{\theta = \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle\large{\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}}\) を満たす \(\large{\theta}\) は \(\displaystyle\large{\theta = \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle\large{\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\) を満たす \(\large{\theta}\) は \(\displaystyle\large{\theta = \frac{3}{4}\pi}\)
となります。

したがって、求める解\(\large{\theta}\)は $$\large{\theta = \frac{\pi}{4},\hspace{2pt}\frac{\pi}{2},\hspace{2pt}\frac{3}{4}\pi}$$ となります。

問題(3) sin3θを含む三角方程式

【解答と解説】
問題の三角方程式を \(\large{\sin}\) の三倍角の公式 $$\large\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta$$
と、\(\large{\sin}\) の二倍角の公式 $$\large\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ から式を \(\large{\sin\theta}\)、\(\large{\cos\theta}\) の式に変形します。

問題の式を変形すると、 $$\large{3\sin\theta -4\sin^3\theta + 2\sin\theta\cos\theta +\sin\theta= 0}$$ $$\large{\sin\theta(-4\sin^2\theta + 2\cos\theta + 4) = 0}$$ ここで、相互関係の式 \(\large{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1}\) から $$\large{\sin\theta( -4(1-\cos^2\theta) + 2\cos\theta +4) = 0}$$ $$\large{\sin\theta(4\cos^2\theta + 2\cos\theta) = 0}$$ $$\large{\sin\theta\cos\theta(2\cos\theta + 1) = 0}$$

すなわち、問題の三角方程式の解は \(\large{\sin\theta=0}\), \(\large{\cos\theta=0}\) もしくは \(\displaystyle\large{\cos\theta=-\frac{1}{2}}\) を満たす \(\large{\theta}\) となります。

問題の \(\large{\theta}\) の範囲 \(\displaystyle \large{0 \leqq \theta \leqq \pi}\) において
\(\displaystyle\large{\sin\theta=0}\) を満たす \(\large{\theta}\) は \(\displaystyle\large{\theta = 0,\hspace{2pt}\pi}\)
\(\displaystyle\large{\cos\theta=0}\) を満たす \(\large{\theta}\) は \(\displaystyle\large{\theta = \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle\large{\cos\theta=-\frac{1}{2}}\) を満たす \(\large{\theta}\) は \(\displaystyle\large{\theta = \frac{2}{3}\pi}\)
となります。

したがって、求める解\(\large{\theta}\) は $$\large{\theta = 0,\hspace{2pt}\frac{\pi}{2},\hspace{2pt}\frac{2}{3}\pi,\hspace{2pt}\pi}$$ となります。

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