本項では以下の内容を解説しています。
相加相乗平均による対数関数の最小値の求め方について解説します。
相加相乗平均の不等式とは以下の式のことをいいます。
例えば、以下のような関数の最小値を求める方法として使用されます。
相加相乗平均の不等式から $$\large{x + \frac{1}{x} \geqq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}=2}$$ であることから、最小値は\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)となります。
また、最小値となる\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の値は $$\large{x= \frac{1}{x}}$$ すなわち $$\large{x^2= 1}$$ が成り立ちます。\(\large{\hspace{1pt}x>0\hspace{2pt}}\)より $$\large{x=1}$$ と求められます。
したがって、\(\large{x=1\hspace{2pt}}\)のとき最小値\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)となります。
上記の相加相乗平均の不等式から、対数関数の最大最小の問題を解ける場合があります。
本章では、相加相乗平均の不等式を利用する基本的な例題を解説します。
まず、底の変換公式から関数\(\large{\hspace{2pt}y=4 \log_2 x + \log_x 2\hspace{4pt}}\)を底が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)の対数に統一します。
底の変換公式とは以下の式のことをいいます。
上式において\(\large{\hspace{2pt}b=c\hspace{4pt}}\)のときに成り立つ式 $$\displaystyle \large{\log_a b = \frac{1}{\log_b a}}$$ を使用します。
問題の関数を底の変換公式から変形すると \begin{eqnarray} \large y &\large =&\large 4\log_2 x + \log_x 2\\[0.7em] \large &\large =&\large 4\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} \\[0.7em] \\[0.7em] \end{eqnarray}
ここで\(\large{\hspace{3pt}x>1\hspace{2pt}}\)であるため\(\large{\hspace{3pt}4\log_2 x > 0\hspace{3pt},}\)\(\displaystyle\large{\hspace{3pt}\frac{1}{\log_2 x} >0 \hspace{2pt}}\)となり相加相乗平均の不等式から $$\large{4\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} \geqq 2\sqrt{4\log_2 x \times \frac{1}{\log_2 x}}}$$ すなわち $$\large{4\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} \geqq 4}$$ となります。
つまり、\(\displaystyle\large{4\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x}\hspace{2pt}}\)の最小値は\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)となります。
最小値となる\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の値を求めると \begin{eqnarray} \large 4\log_2 x &\large =&\large \frac{1}{\log_2 x}\\[0.7em] \large (\log_2 x)^2 &\large =&\large \frac{1}{4} \\[0.7em] \\[0.7em] \end{eqnarray} \(\large{\log_2 x > 0\hspace{2pt}}\)であることから $$\large{\log_2 x =\frac{1}{2}}$$ となります。上式から最小値をとる\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の値は $$\large{x = \sqrt{2}}$$ となります。
したがって、問題の関数は
\(\large{x=\sqrt{2}\hspace{3pt}}\)のとき最小値は\(\large{\hspace{2pt}4}\)
と求められます。
相加相乗平均を利用する対数関数の最大値・最小値に関連する問題と解き方を解説します。
解答と解説 : 問題1
解答と解説 : 問題2
まず、関数\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}y=\log_2 x^3 + \log_{\hspace{1pt}x} \frac{2}{\sqrt{x}}\hspace{2pt}}\)の底を\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)に統一します。
本問は以下の底の変換公式を使用します。
問題の関数を底の変換公式から変形すると \begin{eqnarray} \large y &\large =&\large \log_2 x^3 + \log_{\hspace{1pt}x} \frac{2}{\sqrt{x}}\hspace{2pt}\\[0.7em] \large &\large =&\large 3\log_2 x + \frac{\log_2 \frac{2}{\sqrt{x}}}{\log_2 x} \\[0.7em] \large &\large =&\large 3\log_2 x + \frac{\log_2 2 - \log_2 \sqrt{x}}{\log_2 x} \\[0.7em] \large &\large =&\large 3\log_2 x + \frac{1 - \frac{1}{2}\log_2 x}{\log_2 x} \\[0.7em] \large &\large =&\large 3\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} - \frac{1}{2} \\[0.7em] \\[0.7em] \end{eqnarray}
ここで、\(\large{x>1\hspace{2pt}}\)から\(\large{\hspace{3pt}3\log_2 x > 0\hspace{2pt},}\)\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{1}{\log_2 x} > 0\hspace{3pt}}\)であるため相加相乗平均の不等式より $$\large{3\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} \geqq 2\sqrt{3\log_2 x \times \frac{1}{\log_2 x}}}$$ すなわち $$\large{3\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} \geqq 2\sqrt{3}}$$ となります。
つまり、\(\displaystyle\large{3\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x}\hspace{2pt}}\)の最小値は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt} 2\sqrt{3}\hspace{2pt}}\)となります。
最小値となる\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)を求めると \begin{eqnarray} \large 3\log_2 x &\large =&\large \frac{1}{\log_2 x}\\[0.7em] \large (\log_2 x)^2 &\large =&\large \frac{1}{3} \\[0.7em] \\[0.7em] \end{eqnarray} \(\large{\log_2 x > 0\hspace{2pt}}\)であることから $$\large{\log_2 x = \frac{\sqrt{3}}{3}}$$ よって $$\large{x = 2^\frac{\sqrt{3}}{3}}$$ となります。
したがって、問題の関数は
\(\large{x=2^\frac{\sqrt{3}}{3}\hspace{3pt}}\)のとき最小値は\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}2\sqrt{3}- \frac{1}{2}}\)
と求められます。
真数条件から\(\large{\hspace{3pt}x>0\hspace{2pt},}\)\(\large{\hspace{3pt}x>-1\hspace{2pt},}\)\(\large{\hspace{3pt}x>-4\hspace{3pt}}\)となり、これらは与えられた条件\(\large{\hspace{1pt}x>0\hspace{2pt}}\)のとき満たされます。
問題の関数を変形すると \begin{eqnarray} \large y &\large =&\large \log_3 x - \log_3 (x+1)- \log_3 (x+4)\hspace{2pt}\\[0.7em] \large &\large =&\large \log_3 \frac{x}{(x+1)(x+4)} \\[0.7em] \large &\large =&\large \log_3 \frac{x}{x^2+5x+4} \\[0.7em] \large &\large =&\large \log_3 \frac{1}{x+5+\frac{4}{x}} \\[0.7em] \\[0.7em] \end{eqnarray}
ここで、\(\large{x>0\hspace{2pt}}\)であることから相加相乗平均の不等式より $$\large{ x + \frac{4}{ x} \geqq 2\sqrt{ x \times \frac{4}{ x}}}$$ すなわち $$\large{x + \frac{4}{ x} \geqq 4}$$ となります。
つまり、\(\displaystyle\large{x + \frac{4}{ x}\hspace{2pt}}\)の最小値は\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)となります。
最小値となる\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)を求めると \begin{eqnarray} \large x &\large =&\large \frac{4}{ x}\\[0.7em] \large x^2 &\large =&\large 4 \\[0.7em] \\[0.7em] \end{eqnarray} \(\large{ x > 0\hspace{2pt}}\)であることから $$\large{ x = 2}$$ となります。
したがって、対数関数の真数\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{1}{x+5+\frac{4}{x}}\hspace{2pt}}\)は
\(\large{x=2\hspace{3pt}}\)のとき最大値\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{1}{9}}\)
となります。
ここで、底が\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)より大きいため、問題の対数関数は単調増加(\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)が増加すると\(\large{\hspace{1pt}y\hspace{2pt}}\)が増加する)となります。
このとき真数が最大値となる\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)において対数関数は最大値となります。
したがって、問題の関数は
\(\large{x=2\hspace{3pt}}\)のとき最大値\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\log_3 \frac{1}{9} = -2}\)
となります。