本項では以下の内容を解説しています。
常用対数とは底が\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)の対数\(\large{\hspace{1pt}\log_{10} \rm{M}\hspace{3pt}}\)のことをいいます。
対数\(\large{\hspace{1pt}\log_{\hspace{1pt}\color{red}{a}\color{black}{}} \rm{M} \mathit{}\hspace{3pt}}\)とは『\(\large{\hspace{1pt}\color{red}{a}\hspace{2pt}}\)を何乗すると\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}\hspace{2pt}}\)となるのか』を求める計算です。 $$\large{ \log_{\hspace{1pt}a} \rm{M}=\mathit{x} \hspace{3pt}\Longleftrightarrow\hspace{3pt} \mathit{a}^\mathit{x} = \rm{M} }$$
つまり、常用対数\(\large{\hspace{1pt}\log_{\color{blue}{10}\color{black}{}} \rm{M}\hspace{3pt}}\)は『\(\large{\hspace{1pt}\color{blue}{10}\hspace{2pt}}\)を何乗すると\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}\hspace{2pt}}\)となるのか』を求める計算のことです。 $$\large{ \log_{\hspace{1pt}10} \rm{M}= \mathit{x} \hspace{3pt}\Longleftrightarrow\hspace{3pt} 10^\mathit{x} = \rm{M} }$$
例えば、\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}= 100\hspace{3pt}}\)の常用対数をとると $$\large{\log_{10}100 = \log_{10}10^2 = 2 }$$ となります。
上記の計算は『\(\large{\hspace{1pt}\color{blue}{10}\hspace{2pt}}\)を\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)乗すると\(\large{\hspace{1pt}100\hspace{2pt}}\)となる』ことを意味しています。
常用対数は非常に大きな数や小さな数を扱うときに役に立つ計算です。
本章では、まず常用対数と桁数の関係について解説します。
\(\large{10\hspace{2pt}}\)の累乗の常用対数をまとめると、以下の表のようになります。
| 値 | 常用対数の値 |
|---|---|
| \(\displaystyle \large{0.001}\) | \(\displaystyle \large{\log_{10} 10^{-3} = -3}\) |
| \(\displaystyle \large{0.01}\) | \(\displaystyle \large{\log_{10} 10^{-2} = -2}\) |
| \(\displaystyle \large{0.1}\) | \(\displaystyle \large{\log_{10} 10^{-1} = -1}\) |
| \(\displaystyle \large{1}\) | \(\displaystyle \large{\log_{10} 1 = 0}\) |
| \(\displaystyle \large{10}\) | \(\displaystyle \large{\log_{10} 10 = 1}\) |
| \(\displaystyle \large{100}\) | \(\displaystyle \large{\log_{10} 10^2 = 2}\) |
| \(\displaystyle \large{1000}\) | \(\displaystyle \large{\log_{10} 10^3 = 3}\) |
\(\large{10\hspace{2pt}}\)の累乗は整数\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)を用いて\(\large{\hspace{1pt}10^n\hspace{2pt}}\)と表されることから、\(\large{10\hspace{2pt}}\)の累乗の常用対数は $$\large{\log_{10} 10^n = n}$$ と求められます。
一般的にある正の数\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}\hspace{2pt}}\)は $$\large{\rm{M}= \mathit{a} \times 10^\mathit{n} }$$ と表されます。(ただし\(\large{\hspace{2pt}1 \leqq a < 10\hspace{2pt}}\)、\(\large{n\hspace{2pt}}\)は整数)
例えば\(\large{\hspace{2pt}1230\hspace{3pt}}\)は $$\large{\rm{M}= 1.23 \times 10^3 }$$ と表されます。
ここで\(\large{\hspace{3pt}\rm{M}= \mathit{a} \times 10^\mathit{n} \hspace{3pt}}\)に常用対数をとると \begin{eqnarray} \large \log_{10} \rm{M} &\large =&\large \log_{10} (\mathit{a} \times 10^\mathit{n})\\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10} \mathit{a} + \log_{10}10^\mathit{n} \\[0.7em] \large &\large =&\large \color{red}{\log_{10} a}\color{black}{} + \color{blue}{n} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
このとき\(\large{\hspace{3pt}n\hspace{3pt}}\)は\(\large{\hspace{2pt}\log_{10} \rm{M}\hspace{3pt}}\)の整数部分であり、正の数\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}\hspace{2pt}}\)の桁数を表します。
また、\(\large{\hspace{3pt}1 \leqq a < 10\hspace{2pt}}\)であることから、\(\large{0 \leqq \log_{10}a < 1\hspace{2pt}}\)となります。
すなわち、\(\large{\log_{10}a\hspace{3pt}}\)は\(\large{\hspace{2pt}\log_{10} \rm{M}\hspace{3pt}}\)の小数部分となり、\(\large{a\hspace{2pt}}\)には\(\large{\hspace{3pt}1 \leqq a < 10\hspace{2pt}}\)を満たす数字の並びが入ります。
例えば、\(\large{\rm{M}=1230\hspace{3pt}}\)の場合は \begin{eqnarray} \large \log_{10} 1230 &\large =&\large \log_{10} (\hspace{1pt}1.23 \times 10^3 \hspace{1pt})\\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10} 1.23 + \log_{10}10^3 \\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10} 1.23 + 3 \\[0.7em] \end{eqnarray} すなわち『桁数を表す整数\(\large{\hspace{2pt}n=3\hspace{2pt}}\)』と『数字の並びを表す\(\large{\hspace{1pt}a=1.23\hspace{2pt}}\)に常用対数をとった小数\(\large{\hspace{2pt}\log_{10}1.23\hspace{3pt}}\)』の和となります。
ある任意の正の数に常用対数を取ることで『桁数を表す整数部分\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)』と『数字の並びを表す\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)に常用対数をとった小数部分\(\large{\hspace{1pt}\log_{10}a\hspace{2pt}}\)』の和に変換できるという性質を利用し、非常に大きな数や小さな数の計算に役立てることができます。
本章では、常用対数を利用して大きな数の桁数を求める方法について解説します。
ある正の数\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}\hspace{2pt}}\)が\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)桁であるとき、以下の不等式が成り立ちます。
例えば、\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}=130\hspace{2pt}}\)を(1)式に当てはめると $$\large{10^{\hspace{1pt}n-1} \leqq 130 < 10^{\hspace{1pt}\mathit{n}}}$$ 上記の不等式は、\(\large{n=3\hspace{3pt}}\)のときに成り立ちます。 $$\large{10^{\hspace{1pt}2} \leqq 130 < 10^{\hspace{1pt}3}}$$
したがって、\(\large{n=3\hspace{3pt}}\)のときに(1)式が成り立つため、\(\large{\rm{M}=130\hspace{2pt}}\)が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)桁の数であることが分かります。
この例では\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}=130\hspace{2pt}}\)が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)桁の数であることは一目瞭然ですが、\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}=2^{\hspace{1pt}30}\hspace{2pt}}\)など非常に大きな数の場合はすぐに桁数を求めることは困難です。
そこで、常用対数を利用することで桁数を簡単に求めることができます。
(1)式の両辺に常用対数をとることで、常用対数と桁数\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)を結び付けて考えることができます。
(2)式から、\(\large{\log_{10}\rm{M}\hspace{2pt}}\)の値を求められれば、桁数\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)を求めることができます。
桁数を求める問題では、まず\(\large{\hspace{2pt}\log_{10}2^{\hspace{1pt}30}\hspace{2pt}}\)の値を求めます。
対数の公式から変形すると \begin{eqnarray} \large \log_{10}\rm{2^{30}} &\large =&\large 30\times \log_{10}2 \\[0.7em] \large &\large =&\large 30\times 0.3010 \\[0.7em] \large &\large =&\large 9.03 \\ \end{eqnarray} すなわち $$\large{9 < \log_{10}2^{\hspace{1pt}30} < 10}$$ つまり $$\large{10^{9} < 2^{\hspace{1pt}30} < 10^{10}}$$ したがって、\(\large{2^{\hspace{1pt}30}\hspace{2pt}}\)は\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)桁の数と求められます。
もしくは、以下のような方法で\(\large{\hspace{1pt}2^{\hspace{1pt}30}\hspace{2pt}}\)の桁数を求めることもできます。
\(\large{\log_{10}2=0.3010\hspace{2pt}}\)より $$\large{2=10^{\hspace{1pt}0.3010} }$$ となります。
指数法則を用いて\(\large{\hspace{1pt}2^{\hspace{1pt}30}\hspace{2pt}}\)を変形すると \begin{eqnarray} \large 2^{\hspace{1pt}30} &\large =&\large \{10^{\hspace{1pt}0.3010}\}^{30} \\[0.7em] \large &\large =&\large 10^{\hspace{1pt}0.3010 \times 30} \\[0.7em] \large &\large =&\large 10^{\hspace{1pt}9.03} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
\(\large{\rm{M}\hspace{2pt}}\)が\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)桁の正の数であるときに成り立つ不等式 $$\large{10^{\hspace{1pt}n-1} \leqq \rm{M} < 10^{\hspace{1pt}\mathit{n}}}$$ において\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}=10^{\hspace{1pt}9.03}\hspace{2pt}}\)とすると $$\large{10^{\hspace{1pt}n-1} \leqq 10^{\hspace{1pt}9.03} < 10^{\hspace{1pt}\mathit{n}}}$$ 上記の不等式は、\(\large{n=10\hspace{3pt}}\)のときに成り立ちます。
したがって、\(\large{2^{\hspace{1pt}30}\hspace{2pt}}\)は\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)桁の数と求められます。
常用対数を利用して最高位の数を求めることもできます。
最高位の数とは、最も桁数の大きい位の数字のことをいいます。
例えば、『\(\large{\hspace{1pt}491\hspace{2pt}}\)』の最高位の数は『\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)』となります。
最高位の数が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)であるような\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)桁の数\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}\hspace{2pt}}\)は、以下の式を満たします。 $$\large{4 \times 10^2 \leqq \rm{M} < 5\times 10^2}$$
最高位の数を\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)とおき一般化すると、以下の不等式が成り立ちます。
\(\large{\hspace{1pt}2^{30}\hspace{2pt}}\)の最高位の数を\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)(\(\large{\hspace{1pt}1 \leqq a < 10\hspace{2pt}}\))とすると $$\large{a \times 10^{9} \leqq 2^{30} < (a+1)\times 10^{9}}$$ が成り立ちます。(先述の例題の結果から、\(\large{2^{30}\hspace{2pt}}\)は\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)桁の整数)
上式に常用対数をとると $$\large{\log_{10}a +9 \leqq \log_{10}2^{30} < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} +9}$$ ここで、\begin{eqnarray} \large \log_{10}2^{30} &\large =&\large 30 \times \log_{10}2 \\[0.7em] \large &\large =&\large 30 \times 0.3010 \\[0.7em] \large &\large =&\large 9.03 \\[0.7em] \end{eqnarray} であるため $$\large{\log_{10}a +9 \leqq 9.03 < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} +9}$$ すなわち $$\large{\log_{10}a \leqq 0.03 < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} }$$
ここで\(\large{\hspace{3pt}\log_{10}1 = 0\hspace{1pt},\hspace{2pt}\log_{10}2 = 0.3010\hspace{1pt}}\)であることから、\(\large{\hspace{1pt}a=1\hspace{2pt}}\)のときに上記の不等式が成り立ちます。
したがって、 \(\large{\hspace{1pt}2^{30}\hspace{2pt}}\)の最高位の数は\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)と求められます。
本章では、常用対数の問題について解説します。
解答と解説 : 問題1
解答と解説 : 問題2
解答と解説 : 問題3
解答と解説 : 問題4
解答と解説 : 問題5
解答と解説 : 問題6
解答と解説 : 問題7
問題1は対数の公式を利用して式変形して計算します。
\(\large{a > 0, \hspace{2pt} a \neq 1, \hspace{2pt}M>0, \hspace{2pt}N>0, \hspace{2pt}b}\) が実数のとき、 $$ \large{\log_a{MN} = \log_a M+ \log_a N}$$ $$\large{\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\hspace{3pt}}$$ $$\large{\log_a M^b = b \log_a M \hspace{35pt}}$$
対数の公式から式変形すると \begin{eqnarray} \large \log_{10} 12 &\large =&\large \log_{10} 3 + \log_{10} 4 \\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10} 3 + 2 \times \log_{10} 2 \\[0.7em] \large &\large =&\large 0.4771 + 2 \times 0.3010 \\[0.7em] \large &\large =&\large 1.0791 \\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
対数の公式から式変形すると \begin{eqnarray} \large \log_{10} \frac{3}{5} &\large =&\large \log_{10} 3 - \log_{10} 5 \\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10} 3 - \log_{10} \frac{10}{2} \\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10} 3 -(1 - \log_{10} 2 )\\[0.7em] \large &\large =&\large 0.4771 -1 + 0.3010 \\[0.7em] \large &\large =&\large -0.2219 \\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
対数の公式から式変形すると \begin{eqnarray} \large \log_{10} \sqrt[5]{15} &\large =&\large \log_{10} 15^{\frac{1}{5}} \\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{5}(\log_{10} 3 + \log_{10} 5) \\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{5}(\log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2}) \\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{5}(\log_{10} 3 + 1 - \log_{10} 2) \\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{5}(0.4771 + 1 - 0.3010) \\[0.7em] \large &\large =&\large 0.23522 \\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
桁数を求める問題はまず\(\large{\hspace{2pt}\log_{10}6^{\hspace{1pt}50}\hspace{2pt}}\)の値を求めます。
対数の公式から変形すると \begin{eqnarray} \large \log_{10}6^{\hspace{1pt}50} &\large =&\large 50 \times \log_{10}6 \\[0.7em] \large &\large =&\large 50 (\log_{10}2 + \log_{10}3) \\[0.7em] \large &\large =&\large 50 (0.3010 + 0.4771) \\[0.7em] \large &\large =&\large 38.905 \\[0.7em] \end{eqnarray} すなわち $$\large{38 < \log_{10}6^{\hspace{1pt}50} < 39}$$ つまり $$\large{10^{38} < 6^{\hspace{1pt}50} < 10^{39}}$$ したがって、\(\large{6^{\hspace{1pt}50}\hspace{2pt}}\)は\(\large{\hspace{1pt}39\hspace{2pt}}\)桁の数と求められます。
\(\large{\hspace{1pt}6^{50}\hspace{2pt}}\)の最高位の数を\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)(\(\large{\hspace{1pt}1 \leqq a < 10\hspace{2pt}}\))とすると $$\large{a \times 10^{38} \leqq 6^{50} < (a+1)\times 10^{38}}$$ が成り立ちます。(問題1の結果から、\(\large{6^{50}\hspace{2pt}}\)は\(\large{\hspace{1pt}39\hspace{2pt}}\)桁の数)
上式に常用対数をとると $$\large{\log_{10}a +38 \leqq \log_{10}6^{50} < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} +38}$$ ここで \begin{eqnarray} \large \log_{10}6^{\hspace{1pt}50} &\large =&\large 50 \times \log_{10}6 \\[0.7em] \large &\large =&\large 50 (\log_{10}2 + \log_{10}3) \\[0.7em] \large &\large =&\large 50 (0.3010 + 0.4771) \\[0.7em] \large &\large =&\large 38.905 \\[0.7em] \end{eqnarray} であるため $$\large{\log_{10}a +38 \leqq 38.905 < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} +38}$$ すなわち $$\large{\log_{10}a \leqq 0.905 < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} }$$
ここで \begin{eqnarray} \large \log_{10}8 &\large =&\large \log_{10} 2^3 \\[0.7em] \large &\large =&\large 3 \times \log_{10}2 \\[0.7em] \large &\large =&\large 0.9030 \\[0.7em] \end{eqnarray} また \begin{eqnarray} \large \log_{10}9 &\large =&\large \log_{10} 3^2 \\[0.7em] \large &\large =&\large 2 \times \log_{10}3 \\[0.7em] \large &\large =&\large 0.9542 \\[0.7em] \end{eqnarray} すなわち $$\large{\log_{10} 8 \leqq 0.905 < \log_{10}9 }$$ のとき上記の不等式が成り立つことから、\(\large{\hspace{1pt}a=8\hspace{2pt}}\)と求められます。
したがって、 \(\large{\hspace{1pt}6^{50}\hspace{2pt}}\)の最高位の数は\(\large{\hspace{1pt}8\hspace{2pt}}\)となります。
\(\large{2^{\hspace{1pt}n}\hspace{2pt}}\)の桁数が\(\large{\hspace{1pt}100\hspace{2pt}}\)桁以上となるとき $$\large{2^{\hspace{1pt}n} \geqq 10^{99} }$$ を満たします。
両辺に常用対数をとると $$\large{\log_{10}2^{\hspace{1pt}n} \geqq \log_{10}10^{99} }$$ すなわち $$\large{n \times \log_{10}2 \geqq 99 }$$ \(\large{\log_{10}2=0.3010\hspace{1pt}}\)であることから $$\large{0.3010\hspace{1pt} n \geqq 99 }$$ よって $$\large{ n \geqq 328.9036\cdots }$$ したがって、\(\large{2^{\hspace{1pt}n}\hspace{2pt}}\)の桁数が\(\large{\hspace{1pt}100\hspace{2pt}}\)桁以上となる最小の整数は\(\large{\hspace{1pt}n=329\hspace{2pt}}\)と求められます。
まず、具体的な数で求め方を考えてみます。
例えば、小数第\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)位に初めて\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)でない数字が現れる数\(\large{\hspace{1pt}\rm{M}=0.015\hspace{2pt}}\)は、以下の式を満たします。 $$\large{0.01 \leqq 0.015 < 0.1}$$ すなわち $$\large{10^{-2} \leqq 0.015 < 10^{-1}}$$ となります。
したがって、 $$\large{10^{-n} \leqq \rm{M} < 10^{-\mathit{n}+1}}$$ の不等式を満たすとき、小数第\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)位に初めて\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)でない数字が表れます。
\(\large{\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\hspace{2pt}}\)を計算すると \begin{eqnarray} \large \log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{20} &\large =&\large \log_{10} 3^{-20}\\[0.7em] \large &\large =&\large -20 \times \log_{10}3 \\[0.7em] \large &\large =&\large -20 \times 0.4771 \\[0.7em] \large &\large =&\large -9.542 \\[0.7em] \end{eqnarray} よって $$\large{-10 < \log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{20} < -9}$$ つまり $$\large{10^{-10} <\left(\frac{1}{3}\right)^{20} < 10^{-9}}$$ したがって、\(\large{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\hspace{2pt}}\)は小数第\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)位に初めて\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)でない数字が現れると求められます。
問題5の結果から $$\large{10^{-10} < \log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{20} < 10^{-9}}$$ が成り立ちます。
\(\large{\left(\frac{1}{3}\right)\hspace{2pt}}\)に初めて現れる\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)でない数字を\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)(\(\large{\hspace{1pt}1 \leqq a < 10\hspace{2pt}}\))とすると $$\large{a \times 10^{-10} \leqq \left(\frac{1}{3}\right)^{20} < (a+1)\times 10^{-10}}$$ となります。
上式に常用対数をとると $$\large{\log_{10}a -10 \leqq -9.542 < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} -10}$$ すなわち $$\large{\log_{10}a \leqq 0.458 < \log_{10}{(\mathit{a}+1)} }$$
ここで、\(\large{\log_{10}2=0.3010\hspace{1pt},\hspace{1pt}\log_{10}3=0.4771}\)であることから $$\large{\log_{10}2 \leqq 0.458 < \log_{10}3 }$$ したがって、\(\large{a=2\hspace{2pt}}\)のときに不等式が成り立ちます。
したがって、 \(\large{\hspace{1pt}\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\hspace{2pt}}\)の最初に現れる\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)以外の数字は\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)となります。
複利とは、\(\large{1\hspace{2pt}}\)年間で付いた利子を元金と合算し、次の年は合算された額を元金として利子を付ける運用方法のことをいいます。
まず、例として元金\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)円を年利率\(\large{5 \%\hspace{2pt}}\)の複利で\(\large{1\hspace{2pt}}\)年間だけ運用した場合を考えます。
この場合、\(\large{1\hspace{2pt}}\)年後の金額は元金\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)に年利率\(\large{\hspace{1pt}5\%\hspace{2pt}}\)による増加分\(\large{\hspace{1pt}0.05\hspace{1pt}x\hspace{1pt}}\)を加えた額となるため、 $$\large{x + x\times 0.05 = 1.05 x}$$ となります。
また、\(\large{2\hspace{2pt}}\)年間だけ運用した場合は、\(\large{1\hspace{2pt}}\)年後の金額\(\large{\hspace{1pt}1.05 \hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)に年利率\(\large{\hspace{1pt}5\%\hspace{2pt}}\)による増加分を加えた額となるため、 \begin{eqnarray} \large 1.05 \hspace{1pt}x + 1.05 \hspace{1pt}x \times 0.05 &\large =&\large 1.05 \hspace{1pt}x (1 + 0.05)\\[0.7em] \large &\large =&\large 1.05^2 \hspace{1pt}x \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
同様に、\(\large{3\hspace{2pt}}\)年後の金額は \begin{eqnarray} \large 1.05^2 \hspace{1pt}x + 1.05^2 \hspace{1pt}x \times 0.05 &\large =&\large 1.05^2 \hspace{1pt}x (1 + 0.05)\\[0.7em] \large &\large =&\large 1.05^3 \hspace{1pt}x \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
すなわち、元金\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)円を年利率\(\large{5 \%\hspace{2pt}}\)の複利で運用すると、\(\large{n\hspace{2pt}}\)年後の金額は $$\large{1.05^{\hspace{1pt}n} \hspace{1pt}x}$$ となります。
したがって、元金\(\large{\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)円が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)倍となるとき $$\large{1.05^n \hspace{1pt} x \geqq 2\hspace{1pt}x}$$ を満たします。
\(\large{x > 0\hspace{2pt}}\)であることから $$\large{1.05^n \geqq 2}$$ 両辺に常用対数をとると $$\large{\log_{10}1.05^n \geqq \log_{10}2}$$ すなわち $$\large{n \times \log_{10}1.05 \geqq \log_{10}2}$$
ここで\(\large{\hspace{1pt}\log_{10}1.05\hspace{2pt}}\)の値を求めると \begin{eqnarray} \large & &\large \log_{10}1.05\\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10}\frac{105}{100}\\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10}\frac{7 \times 5 \times 3}{100} \\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10}7 + \log_{10}5 + \log_{10}3 - \log_{10}100\\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10}7 + \log_{10}\frac{10}{2} + \log_{10}3 - \log_{10}10^2\\[0.7em] \large &\large =&\large \log_{10}7 + 1 -\log_{10}2 + \log_{10}3 - 2\\[0.9em] \large &\large =&\large 0.8451 + 1 -0.3010 + 0.4771 - 2\\[0.7em] &\large =&\large 0.0212\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
すなわち $$\large{n \times \log_{10}1.05 \geqq \log_{10}2}$$ に値を当てはめると $$\large{0.0212\hspace{1pt}n \geqq 0.3010}$$ よって $$\large{n \geqq 14.198 \cdots}$$ したがって、\(\large{15\hspace{2pt}}\)年後に元金が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)倍になることが分かります。