本項では以下の内容を解説しています。
数列 \(\large{\{a_n\}}\) をある規則にしたがって群ごとに区分けした数列を 群数列といいます。
例えば、\(\large{1\hspace{2pt}}\)から始まる奇数の数列を 個数が \(\large{1\hspace{1pt}}\)個, \(\large{2\hspace{1pt}}\)個, \(\large{3\hspace{1pt}}\)個,\(\large{\cdots}\) となるように群に分けると以下のようになります。 $$\large{1\hspace{2pt}|\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{2pt}|\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{2pt}|\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\hspace{1pt},\hspace{2pt}19\hspace{2pt}|\hspace{2pt}\cdots}$$
このとき、最初の \(\large{1}\) を第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群、次の \(\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{2pt}}\) を第\(\large{2\hspace{1pt}}\)群というように 第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群 という言い方をします。
群数列のややこしい点は、
【Ⅰ】群の区切りのない数列
$$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{1pt},\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{1pt},\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\hspace{1pt},\hspace{2pt}19\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$
【Ⅱ】群単位の数列
第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群 \(\large{1}\)
第\(\large{2\hspace{1pt}}\)群 \(\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5}\)
第\(\large{3\hspace{1pt}}\)群 \(\large{7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11}\)
第\(\large{4\hspace{1pt}}\)群 \(\large{13\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\hspace{1pt},\hspace{2pt}19}\)
\(\large{\cdots}\) \(\large{\cdots}\)
の\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの数列の見方が存在するという点にあります。
ここで 【Ⅰ】群の区切りのない数列 と 【Ⅱ】群単位の数列 の橋渡しをするのが『第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数』です。
数列の一般項 と 第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数 を求めれば、『第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の最初の数』や『第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の数の和』などを通常の数列と同じように考えることができます。
群数列の問題には様々なパターンがありますが、ひとまず 第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数を求めると見通しが良くなります。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数 を求めるには、"第\(\large{N-1\hspace{1pt}}\)群までの項数に\(\large{\hspace{2pt}1\hspace{2pt}}\)を足す" 方法が定石です。
例えば、以下のような 第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群に\(\large{N\hspace{1pt}}\)個 の項が含まれるような群数列 $$\large{1\hspace{2pt}|\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{2pt}|\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{2pt}|\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\hspace{1pt},\hspace{2pt}19\hspace{2pt}|\hspace{2pt}\cdots}$$ において 第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の初めの項の項数は \(\large{9\hspace{1pt}}\)群までの項数 \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{9} k &\large = &\large \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot 10\\[0.7em] & \large = &\large 45\\[0.7em] \end{eqnarray} に \(\large{1}\) を足した \(\large{46\hspace{1pt}}\)番目となります。
具体的な問題の解法については、例題で詳しく説明します。
上記の群数列を解くポイントを踏まえて、例題(1)～(4)の解き方を解説します。
まず、群による区分けのない数列 $$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{1pt},\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{1pt},\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\hspace{1pt},\hspace{2pt}19\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の一般項は 初項 \(\large{1\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{2}\) の等差数列であるため、 $$\large{a_n = 1 + (n-1)\times 2 = 2n-1}$$ となります。
次に、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数を求めます。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群には\(\large{N\hspace{1pt}}\)個の項が含まれることから、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群から第\(\large{9\hspace{1pt}}\)群までの項数の和を求めると シグマ記号の計算から \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{9} k &\large = &\large \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot 10\\[0.7em] & \large = &\large 45\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{45 + 1 = 46}\) 番目となります。
『数列の一般項が \(\large{a_n = 2n-1}\) 』と『第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数が\(\large{46\hspace{1pt}}\)番目』から、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の初めの数は $$\large{2\cdot 46 -1 = 91}$$ と求められます。
本問は、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数を求める問題ですが、例題(1)と同じ方法で解くことができます。
まず、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数を求めます。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群には\(\large{N\hspace{1pt}}\)個の項が含まれることから、\(\large{N \geqq 2}\) のとき、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群から第\(\large{N-1\hspace{1pt}}\)群までの項数の和を求めると シグマ記号の計算から \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{N-1} k &\large = &\large \frac{1}{2}\cdot (N-1) \cdot ((N-1)+1)\\[0.7em] & \large = &\large \frac{1}{2}N(N-1)\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{ \frac{1}{2}N(N-1) + 1}\) 番目となります。
ここで、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群の初めの数が\(\large{1\hspace{1pt}}\)番目となることから項数を求める式は \(\large{N=1}\) のときも成り立ちます。
『①問題の数列の一般項が \(\large{a_n = 2n-1}\) 』と『②第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{ \frac{1}{2}N(N-1) + 1}\) 番目』から、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は $$\large{2\cdot \left( \frac{1}{2}N(N-1)+1 \right) -1 = N^2 -N+1}$$ と求められます。
(1)の結果から、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\large{91}\) となります。
すなわち、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群は 初項が \(\displaystyle\large{91}\), 公差が \(\large{2}\) , 項数が \(\large{10}\) の等差数列となります。
したがって、項数\(\large{n}\), 初項\(\large{a}\), 公差\(\large{d}\) の等差数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}}$$ より、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の数の和は $$\large{ \frac{1}{2} \cdot 10 \{2 \cdot 91 + (10-1)\times 2\} = 1000}$$ と求められます。
(2)の結果から、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\large{N^2 -N+1}\) となります。
すなわち、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群は 初項が \(\displaystyle\large{N^2 -N+1}\), 公差が \(\large{2}\) , 項数が \(\large{N}\) の等差数列となります。
したがって、項数\(\large{n}\), 初項\(\large{a}\), 公差\(\large{d}\) の等差数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}}$$ より、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の数の和は $$\large{ \frac{1}{2} \cdot N \{2 \cdot (N^2 -N+1) + (N-1)\times 2\} = N^3}$$ と求められます。
本章では、群数列に関連する問題と解き方について解説します。
解答と解説 : 問題(1)
解答と解説 : 問題(2)
解答と解説 : 問題(3)
解答と解説 : 問題(4)
【数列の一般項】
まず、群による区分けのない数列
$$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{1pt},\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{1pt},\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\hspace{1pt},\hspace{2pt}19\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$
の一般項は 初項 \(\large{1\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{2}\) の等差数列であるため、
$$\large{a_n = 1 + (n-1)\times 2 = 2n-1}$$
となります。
【第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の\(\large{7\hspace{1pt}}\)番目の数の項数】
次に、数列の第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の\(\large{7\hspace{1pt}}\)番目の数の項数を求めます。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群には\(\large{N\hspace{1pt}}\)個の項が含まれることから、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群から第\(\large{9\hspace{1pt}}\)群までの項数の和を求めると シグマ記号の計算から \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{9} k &\large = &\large \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot 10\\[0.7em] & \large = &\large 45\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の\(\large{7\hspace{1pt}}\)番目の数は \(\displaystyle\large{45 + 7 = 52}\) 番目となります。
『数列の一般項は \(\large{a_n = 2n-1}\) 』と『第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の\(\large{7\hspace{1pt}}\)番目の数の項数』から、第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の\(\large{7\hspace{1pt}}\)番目の数は $$\large{2\cdot 52 -1 = 103}$$ と求められます。
まず、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数を求めます。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群には\(\large{N\hspace{1pt}}\)個の項が含まれることから、\(\large{N \geqq 2}\) のとき 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群から第\(\large{N-1\hspace{1pt}}\)群までの項数の和を求めると シグマ記号の計算から \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{N-1} k &\large = &\large \frac{1}{2}\cdot (N-1) \cdot ((N-1)+1)\\[0.7em] & \large = &\large \frac{1}{2}N(N-1)\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
つまり、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの項の項数は \(\displaystyle\large{\frac{1}{2}N(N-1) + 1}\) 番目となります。
ここで、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群の初めの数が\(\large{1\hspace{1pt}}\)番目となることから項数を求める式は \(\large{N=1}\) のときも成り立ちます。
『数列の一般項が \(\large{a_n = 2n-1}\) 』と『第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{\frac{1}{2}N(N-1) + 1}\) 番目』から、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は $$\large{2 \left(\frac{1}{2}N(N-1) + 1 \right)-1 = N^2-N+1}$$ と求められます。
\(\large{165}\) が第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群に入るとすると $$\large{N^2-N+1 \leqq 165 < (N+1)^2-(N+1)+1}$$ すなわち $$\large{N^2-N+1 \leqq 165 < N^2 + N +1}$$ が成り立ちます。
ここで、\(\large{N = 13}\) のとき $$\large{N^2-N+1 = 157}$$ $$\large{N^2+N+1 = 183}$$ であることから \(\large{165}\) は第\(\large{13\hspace{1pt}}\)群であることが分かります。
また、\(\large{2n-1 = 165}\) から \(\large{n=83}\) すなわち \(\large{165}\) は \(\large{83\hspace{1pt}}\)番目の数です。
一方、第\(\large{13\hspace{1pt}}\)群の最初の数の項数は \(\displaystyle\large{\frac{1}{2}\cdot 13 \cdot (13-1) + 1 = 79}\)番目となります。
したがって、\(\large{165}\) は 第\(\large{13\hspace{1pt}}\)群の \(\large{5\hspace{1pt}}\)番目の項となります。
【数列の一般項】
まず、群による区分けのない数列
$$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{1pt},\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{1pt},\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\hspace{1pt},\hspace{2pt}19\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$
の一般項は 初項 \(\large{1\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{2}\) の等差数列であるため、
$$\large{a_n = 1 + (n-1)\times 2 = 2n-1}$$
となります。
【第\(\large{7\hspace{1pt}}\)群の初めの項の項数】
次に、数列の第\(\large{7\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数を求めます。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群には\(\large{2N-1\hspace{1pt}}\)個の項が含まれることから、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群から第\(\large{6\hspace{1pt}}\)群までの項数の和を求めると シグマ記号の計算から \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{6}(2k-1) &\large = &\large 2\sum_{k=1}^{6}k - \sum_{k=1}^{6} 1\\[0.7em] & \large = &\large 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 7 - 6\\[0.7em] & \large = &\large 36\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、第\(\large{7\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{36+1 = 37}\) 番目となります。
『数列の一般項は \(\large{a_n = 2n-1}\) 』と『第\(\large{7\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{37}\) 番目』から、第\(\large{7\hspace{1pt}}\)群の初めの数は $$\large{2\cdot 37 -1 = 73}$$ と求められます。
(1)の結果から、第\(\large{7\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\large{73}\) となります。
すなわち、第\(\large{7\hspace{1pt}}\)群は 初項が \(\displaystyle\large{73}\), 公差が \(\large{2}\) , 項数が \(\large{2\cdot 7 -1 = 13}\) の等差数列となります。
したがって、項数\(\large{n}\), 初項\(\large{a}\), 公差\(\large{d}\) の等差数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}}$$ より、 $$\large{ \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \{2 \cdot 73 + (13-1)\times 2\} = 1105}$$ と求められます。
【数列の一般項】
まず、群による区分けのない数列
$$\large{2\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt},\hspace{2pt}8\hspace{1pt},\hspace{2pt}10,\hspace{2pt}12\hspace{1pt},\hspace{2pt}14\hspace{1pt},\hspace{2pt}16\hspace{1pt},\hspace{2pt}18\hspace{1pt},\hspace{2pt}20\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$
の一般項は 初項 \(\large{2\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{2}\) の等差数列であるため、
$$\large{a_n = 2 + (n-1)\times 2 = 2n}$$
となります。
【第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの項の項数】
次に、数列の第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数の項数を求めます。
\(\large{N \geqq 2}\) としたとき、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群には\(\large{2^N\hspace{1pt}}\)個の項が含まれることから、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群から第\(\large{N-1\hspace{1pt}}\)群までの項数の和を求めると シグマ記号の計算から \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{N-1} 2^k &\large = &\large \frac{2(2^{N-1}-1)}{2-1}\\[0.7em] \large & \large = &\large 2^{N}-2 \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{(2^{N}-2)+1= 2^{N}-1}\) 番目となります。
ここで、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群の初めの数が\(\large{1\hspace{1pt}}\)番目となることから項数を求める式は \(\large{N=1}\) のときも成り立ちます。
『数列の一般項は \(\large{a_n = 2n}\) 』と『第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{2^{N}-1}\) 番目』から、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は $$\large{2 \left( 2^{N}-1\right)}$$ と求められます。
(1)の結果から、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は $$\large{2 \left( 2^{N}-1\right)}$$ となります。
すなわち、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群は 初項が \(\displaystyle\large{2 \left( 2^{N}-1\right)}\), 公差が \(\large{2}\) , 項数が \(\large{2^N}\) の等差数列となります。
したがって、項数\(\large{n}\), 初項\(\large{a}\), 公差\(\large{d}\) の等差数列の公式 $$\large{a_n = a + (n-1)d}$$ から、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の最後の項は $$\large{2 \left( 2^{N}-1\right) +(2^N-1)\cdot 2 = 4(2^N-1) }$$ と求められます。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群は 初項が \(\displaystyle\large{2 \left( 2^{N}-1\right)}\), 公差が \(\large{2}\) , 項数が \(\large{2^N}\) の等差数列となります。
したがって、項数\(\large{n}\), 初項\(\large{a}\), 公差\(\large{d}\) の等差数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}}$$ より、 \begin{eqnarray} &&\large \frac{1}{2}\cdot 2^N \{2 \cdot 2 \left( 2^{N}-1\right) + (2^N-1)\cdot 2\} \\[0.7em] &&\large = 3\cdot 2^N(2^N-1) \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
以上より、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群に含まれる数の和は $$\large{3\cdot 2^N(2^N-1)}$$ と求められます。
問題の数列は群に分けられていませんが、以下のように分母の数ごとに群に分けます。 $$\large{\frac{1}{1}\hspace{2pt}\left|\hspace{2pt}\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\frac{3}{2}\hspace{2pt}\right|\hspace{2pt}\frac{1}{3}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\frac{3}{3},\hspace{1pt}\frac{5}{3}\hspace{2pt}\left|\hspace{2pt}\frac{1}{4}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\frac{3}{4}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\frac{5}{4}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\frac{7}{4}\hspace{2pt}\right|\hspace{2pt}\cdots}$$
上記のように群数列とすると、\(\displaystyle\large{\frac{7}{9}}\) は分母が\(\large{9\hspace{1pt}}\)であることから、第\(\large{9\hspace{1pt}}\)群に含まれます。
また、分子は\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)から順に奇数が並ぶことから、第\(\large{9\hspace{1pt}}\)群の\(\large{4\hspace{1pt}}\)番目の数であることが分かります。
ここで、第\(\large{8\hspace{1pt}}\)群までの項の数を求めると 第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群に含まれる分数の数は \(\large{N\hspace{1pt}}\)個であることから シグマ記号の計算より \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^8 k &\large = &\large \frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 9 \\[0.7em] &&\large = 36 \\[0.7em] \end{eqnarray}
したがって、\(\displaystyle\large{\frac{7}{9}}\) は \(\large{36 + 4 = 40}\) 番目となります。
\(\large{N \geqq 2}\) としたとき、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群には\(\large{N\hspace{1pt}}\)個の項が含まれることから、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群から第\(\large{N-1\hspace{1pt}}\)群までの項数の和を求めると \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{N-1} k &\large = &\large \frac{1}{2}(N-1)N \\[0.7em] &&\large = \frac{1}{2}N^2-\frac{1}{2}N \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の初めの数は \(\displaystyle\large{\frac{1}{2}N^2-\frac{1}{2}N+1}\) 番目となります。
ここで、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)群の初めの数が\(\large{1\hspace{1pt}}\)番目となることから項数を求める式は \(\large{N=1}\) のときも成り立ちます。
よって、第\(\large{50\hspace{1pt}}\)項目の数が第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群に入るとすると
すなわち $$\large{\frac{1}{2}N^2-\frac{1}{2}N+1 \leqq 50 < \frac{1}{2}N^2+\frac{1}{2}N+1}$$ が成り立ちます。
ここで、\(\large{N = 10}\) のとき $$\large{\frac{1}{2}N^2-\frac{1}{2}N+1 = 46}$$ $$\large{\frac{1}{2}N^2+\frac{1}{2}N+1= 56}$$ であることから 第\(\large{50\hspace{1pt}}\)項目は第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群の\(\large{5\hspace{1pt}}\)番目の項数であることが分かります。
つまり、第\(\large{50\hspace{1pt}}\)項目は第\(\large{10\hspace{1pt}}\)群であることから分母が\(\large{10\hspace{1pt}}\), \(\large{5\hspace{1pt}}\)番目の奇数が\(\large{9\hspace{1pt}}\)であることから分子が\(\large{9\hspace{1pt}}\)となります。
以上から、第\(\large{50\hspace{1pt}}\)項目は \(\displaystyle\large{\frac{9}{10}}\) となります。
(2)の計算過程から、第\(\large{100\hspace{1pt}}\)項の数が第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群に含まれているとすると
が成り立ちます。
ここで、\(\large{N = 14}\) のとき $$\large{\frac{1}{2}N^2-\frac{1}{2}N+1 = 92}$$ $$\large{\frac{1}{2}N^2+\frac{1}{2}N+1= 106}$$ であることから 第\(\large{100\hspace{1pt}}\)項目は第\(\large{14\hspace{1pt}}\)群の\(\large{9\hspace{1pt}}\)番目の数であることが分かります。
ここで、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の和を求めます。
第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群は 初項が \(\displaystyle\large{\frac{1}{N}}\), 公差が \(\displaystyle\large{\frac{2}{N}}\) , 項数が \(\large{N}\) の等差数列となります。
したがって、項数\(\large{n}\), 初項\(\large{a}\), 公差\(\large{d}\) の等差数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}}$$ より、第\(\large{N\hspace{1pt}}\)群の和は \begin{eqnarray} \large S_N &\large = &\large \frac{1}{2} N \left(2 \cdot \frac{1}{N} +(N-1)\frac{2}{N}\right) \\[0.7em] &\large =& \large N \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
つまり、第\(\large{13\hspace{1pt}}\)群までの和は \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{13}k &\large = &\large \frac{1}{2}\cdot 13 \cdot 14 \\[0.7em] &\large =& \large 91 \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
また、第\(\large{14\hspace{1pt}}\)群の \(\large{1\hspace{1pt}}\)番目 から \(\large{9\hspace{1pt}}\)番目 までの和は 第\(\large{14\hspace{1pt}}\)群の\(\large{n\hspace{1pt}}\)番目の項が \(\displaystyle\large{\frac{2n-1}{14}}\) と表されることから \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{9}\frac{2k-1}{14} &\large = &\large \frac{1}{7}\sum_{k=1}^{9}k -\frac{1}{14}\sum_{k=1}^{9} 1\\[0.7em] &\large =& \large \frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10 - \frac{9}{14} \\[0.7em] &\large =& \large \frac{81}{14} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、第\(\large{100\hspace{1pt}}\)項は 第\(\large{14\hspace{1pt}}\)群の\(\large{9\hspace{1pt}}\)番目の数であるため、第\(\large{100\hspace{1pt}}\)項までの和は \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^{13}k + \sum_{k=1}^{9}\frac{2k-1}{14}&\large = &\large 91 +\frac{81}{14} \\[0.7em] &\large =& \large \frac{1355}{14}\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。