本項では以下の内容を解説しています。
等比数列とは、隣り合う項との比が一定な数列\(\large{\{a_n\}}\) のことをいいます。
例えば、以下の数列\(\large{\{a_n\}}\) は、隣り合う項との比が \(\large{2}\) の等比数列です。 $$\large{3\hspace{1pt},\hspace{4pt}6\hspace{1pt},\hspace{4pt}12\hspace{1pt},\hspace{4pt}24\hspace{1pt},\hspace{4pt}48\hspace{1pt},\cdots}$$
各項の比は \(\large{r}\) という記号で表し、公比といいます。
等比数列の定義は公比\(\large{r}\) から以下のように表されます。
また、等比数列の一般項 \(\large{a_n}\) は、初項\(\large{a}\)、公比\(\large{r}\) から以下の式により表されます。
例題(1)の数列は、初項 \(\large{4}\), 公比が \(\large{3}\) の等比数列であるため、等比数列の公式 $$\large{a_n = a\hspace{1pt}r^{n-1}}$$ から、 $$\large{a_n = 4 \cdot 3^{n-1}}$$ となります。
例題(2)の数列は、初項 \(\large{3}\), 公比が \(\large{-1}\) の等比数列であるため、等比数列の公式 $$\large{a_n = 3 \cdot (-1)^{n-1}}$$ となります。
等比数列は隣り合う項との比が \(\large{r}\) \(\large{(r \neq 0)}\) であるため、初項を \(\large{a}\) \(\large{(a \neq 0)}\) とすると \begin{eqnarray} \large a_2 &\large =&\large a \cdot r\\[0.7em] \large a_3&\large =&\large a_2 \cdot r = a \cdot r^2 \\[0.7em] \large a_4&\large =&\large a_3 \cdot r = a \cdot r^3 \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
すなわち、等比数列の 第\(\large{\hspace{1pt} n \hspace{1pt}}\)項は、初項 \(\large{a}\) に 公比 \(\large{r}\) を \(\large{n-1}\) 回かけたものであることが分かります。
したがって、等比数列の一般項は、以下のように表されます。 $$\large{a_n =a\cdot r^{n-1}}$$
等比数列の和は、以下の公式により表されます。
\(\large{r \neq 1}\) のときの和の公式は $$\large{S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$$ $$\large{S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}}$$ の2種類がありますが、分母が正になる方を選択すると計算が楽になります。
\(\large{r \neq 1}\) のときの等比数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}}$$ に \(\large{a=4 \hspace{1pt},\hspace{1pt} r=3\hspace{1pt},\hspace{1pt} n=5}\) を代入して \begin{eqnarray} \large S_5 &\large =&\large \frac{4\cdot(3^5-1)}{3-1} \\[0.7em] \large &\large =&\large 484\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
等比数列の和の公式の導出について解説します。
和の公式を導出するときは、公比が 『\(\large{ r \neq 1}\) の場合』と 『\(\large{r=1}\) の場合』 に分けて導出します。
初項 \(\large{a}\)、公比\(\large{r}\)、項数\(\large{n}\) の等比数列の一般項 $$\large{a_n = a r^{n-1}}$$ から、等比数列の和は $$\large{S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}\hspace{10pt}(1)}$$ この両辺に \(\large{r}\) をかけると、 $$\large{rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n\hspace{10pt}(2)}$$ となります。
ここで、(1)式-(2)式を計算すると、 $$\large{(1-r)S_n = a(1 - r^n)}$$ となります。両辺を \(\large{1-r}\) で割ると、 $$\large{S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r}}$$ と和の公式を求めることができます。
初項 \(\large{a}\)、公比 \(\large{r=1}\)、項数 \(\large{n}\) のときの等比数列の和は $$\large{S_n = a + a + \cdots + a = na}$$ と求めることができます。
以上から、等比数列の和の公式は、以下のようにまとめられます。
本章では、等比数列に関する問題と解き方について解説します。
問題(1)～(3)は等比数列の一般項に関連した問題です。
また、問題(4)～(7)は、等比数列の和に関連した問題です。
【問題1の解答】
問題の数列は、初項 \(\large{a=27}\)、公比 \(\displaystyle\large{r=-\frac{4}{3}}\) の等比数列であるため、一般項の公式
$$\large{a_n = a r^{n-1}}$$
から、問題の一般項は
$$\large{a_n = 27 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^{n-1}}$$
となります。
【問題2の解答】
初項 \(\large{a}\)、公比 \(\large{r}\) であるときの等比数列の一般項の公式
$$\large{a_n = ar^{n-1}}$$
を問題で与えられた条件に当てはめると
\begin{eqnarray}
\large
a r^2 &\large =&\large 5\\[0.7em]
\large a r^5 &\large =&\large -135 \\[0.7em]
\end{eqnarray}
となります。
ここで、2式を解くと $$\large{r=-3\hspace{1pt},\hspace{3pt}a=\frac{5}{9}}$$ となります。したがって、数列の一般項は $$\large{a_n = \frac{5}{9} (-3)^{n-1}}$$ と求められます。
【問題3の解答】
\(\large{3}\)つの数 \(\large{a,\hspace{1pt}b,\hspace{1pt}c}\) が等比数列であるとき、隣り合う項との比が等しいので、
$$\large{\frac{b}{a} = \frac{c}{b}}$$
となるため、
$$\large{b^2 = ac}$$
が成り立ちます。このとき、\(\large{b}\) を等比中項といいます。
ここで、問題の数列の \(\large{3,\hspace{1pt}x,\hspace{1pt}6}\) を等比中項の式に当てはめると \begin{eqnarray} \large x^2 &\large =&\large 18\\[0.7em] \large x &\large =&\large \pm 3\sqrt{2} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
\(\large{x= 3 \sqrt{2}}\) であるとき、公比 \(\large{r=\sqrt{2}}\) の等比数列であるため、 $$\large{y = 6 \sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}z=12}$$ となります。
また、\(\large{x= -3 \sqrt{2}}\) であるとき、公比 \(\large{r=-\sqrt{2}}\) の等比数列であるため、 $$\large{y = -6 \sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}z=12}$$ となります。
したがって、求める \(\large{x,\hspace{1pt}y,\hspace{1pt}z}\) は $$\large{x=3 \sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}y = 6 \sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}z=12}$$ または $$\large{x=-3 \sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}y = -6 \sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}z=12}$$ となります。
【問題4の解答】
初項 \(\large{4}\), 公比 \(\displaystyle\large{\frac{1}{2}}\) の等比数列の一般項は
$$\large{a_n = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}$$
となります。
末項が \(\displaystyle\large{\frac{1}{64}}\) であるため、 \begin{eqnarray} \large 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} &\large =&\large \frac{1}{64}\\[0.7em] \large \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} &\large =&\large \left(\frac{1}{2}\right)^8\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{n-1 = 8}\) より $$\large{n= 9}$$ となることから、初項から第\(\large{\hspace{1pt} 9 \hspace{1pt}}\)項までの和を求めればよいことが分かります。
初項 \(\large{a}\), 公比 \(\large{r}\), 項数 \(\large{n}\) の等比数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$$ から、 \begin{eqnarray} \large S_9 &\large =&\large \frac{4(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{9\hspace{1pt}})}{1-\frac{1}{2}}\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{511}{64}\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
初項から第\(\large{\hspace{1pt}n \hspace{1pt}}\)項までの和を \(\large{S_n}\) とすると、 $$\large{S_3 = 63\hspace{1pt}, \hspace{5pt}S_6=4095}$$ となります。
公比が \(\large{r=1}\) である場合、初項が \(\large{a}\) であるとすると \(\large{S_3 = 3a}\)、\(\large{S_6 = 6a}\) すなわち \(\large{S_3 = 2 S_6}\) を満たします。
与えられた条件では、\(\large{S_3 \neq 2\hspace{1pt}S_6}\) であることから、\(\large{r \neq 1}\) となります。
\(\large{r \neq 1}\) のときの等比数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$$ から、 \begin{eqnarray} \large S_3 &\large =&\large \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 63\hspace{18pt}(1)\\[0.7em] \large S_6 &\large =&\large \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 4095\hspace{10pt}(2)\\[0.7em] \end{eqnarray} (2)式を変形すると、 $$\large{\frac{a(1-r^6)}{1-r} = \frac{a(1+r^3)(1-r^3)}{1-r}}$$ となります。この式に (1)式 を代入すると、 \begin{eqnarray} \large 63(1+r^3) &\large =&\large 4095\\[0.7em] \large r^3 &\large =&\large 64\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、 $$\large{r= 4}$$ となります。
また、(1)式に \(\large{r=4}\) を代入すると $$\large{a=3}$$ と求められます。
以上から、問題の一般項は $$\large{a_n = 3 \cdot 4^{n-1}}$$ となります。
【問題6の解答】
ある自然数 \(\large{N}\) の素因数分解の結果が
$$\large{N = x^{\hspace{1pt}a} \times y^{\hspace{1pt}b} \times z^{\hspace{1pt}c}}$$
であるとき、\(\large{N}\) の正の約数の総和は
となります。
したがって、\(\large{2^5 \cdot 3^4}\) の正の約数の和 \(\large{S}\) は、
となります。
等比数列の公式から和を求めると、 \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large \frac{1\cdot(2^6-1)}{2-1} \times \frac{1\cdot(3^5-1)}{3-1}\\[0.7em] \large &\large =&\large 63 \times 121\\[0.7em] \large &\large =&\large 7623\\[0.7em] \end{eqnarray}
【問題7の解答】
前問と同様に、ある自然数 \(\large{N}\) の素因数分解の結果が
$$\large{N = x^{\hspace{1pt}a} \times y^{\hspace{1pt}b} \times z^{\hspace{1pt}c}}$$
であるとき、\(\large{N}\) の正の約数の総和が
となることを利用して和を求めます。
\(\large{2000}\) の正の約数の和 \(\large{S}\) は、\(\large{2000 = 2^4 \cdot 5^3}\) であることから、
となります。
等比数列の公式から和を求めると、 \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large \frac{1\cdot(2^5-1)}{2-1} \times \frac{1\cdot(5^4-1)}{5-1}\\[0.7em] \large &\large =&\large 31 \times 156\\[0.7em] \large &\large =&\large 4836\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。