本項では以下の内容を解説しています。
- ・部分分数分解による数列の和の求め方
- ・問題と解き方
【1】部分分数分解と数列の和
以下のような シグマの記号で表された数列の和を求める問題について考えます。
【例題】
次の和を求めよ。
$$\large{S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+1)}}$$
上記のような分数の数列の和は、部分分数分解を利用して以下の手順で和を計算します。
【部分分数分解による数列の和】
①部分分数分解により分数を差の形にする
②数列の和を書き並べ, 隣り合う項を削除し和を求める
・手順① : 部分分数分解
まず、部分分数分解するには、以下のように考えます。
まず、\(\displaystyle\large{\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+1)}}\) が 以下のような部分分数に分けられたとします。
$$\large{\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+1)} = A \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\cdots (1)}$$
上式の右辺を以下のように変形します。
\begin{eqnarray}
\large A \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) &=& \large A \hspace{1pt}\frac{k+1 - k}{k\hspace{1pt}(k+1)}\\[0.7em]
&\large &\large =\large A\hspace{1pt} \frac{1}{k\hspace{1pt}(k+1)}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
したがって、\(\large{A=1}\) であるとき、\(\large{(1)\hspace{1pt}}\)式が成り立つため、
$$\large{\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}$$
と部分分数分解されます。
・手順② : 項を書き並べて和を求める
次に、部分分数分解の結果を利用して、数列の和を並べて書いてみます。
\begin{eqnarray}
\large \hspace{10pt}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+1)} &=& \large \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\[0.7em]
&\large &\large =\large \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+ \cdots + \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \left( \frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left( \cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+\left( \cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+ \cdots + \left( \cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large 1-\frac{1}{n+1}\hspace{10pt}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
すなわち、数列の和は
$$\large{S_n = 1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}}$$
と求めることができます。
【2】部分分数分解による数列の和の問題
本章では、部分分数分解による数列の和に関連する問題と解き方について解説します。
問題(1)～(5)
次の和を求めよ
\begin{eqnarray}
&&\large (1)\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\\[0.7em]
&& \large (2)\hspace{10pt}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} \\[0.7em]
&&\large (3)\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \\[0.7em]
&&\large (4)\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\\[0.7em]
&&\large (5)\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
解答と解説 : 問題(1) , 問題(2) , 問題(3) , 問題(4) , 問題(5)
問題1. 奇数の積の分数の和
問題(1)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} }$$
【問題1の解答】
求める数列の和は、
$$\large{\hspace{10pt}\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7}+ \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\hspace{10pt}}$$
となり、奇数の積が分母の分数となる数列の和です。
本問はシグマ記号の公式が利用できないため、\(\displaystyle\large{\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}\) を部分分数分解して求めます。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}\) が 以下のような部分分数に分けられたとします。
$$\large{\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = A \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\cdots (2)}$$
(2)式の右辺を以下のように変形します。
\begin{eqnarray}
\large A \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) &=& \large A \hspace{1pt}\frac{2k+1-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}\\[0.7em]
&\large &\large =\large A\hspace{1pt} \frac{2}{(2k-1)(2k+1)}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
したがって、\(\displaystyle\large{A=\frac{1}{2}}\) であるとき、\(\large{(2)\hspace{1pt}}\)式が成り立つため、
$$\large{\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)}$$
と部分分数分解されます。
次に、数列の和を書き並べて求めます。
\begin{eqnarray}
\large \hspace{20pt}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} &=& \large \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+ \cdots + \left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{\left( \frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{ \frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}\right)+\left( \cancel{\frac{1}{5}}-\cancel{\frac{1}{7}}\right)+ \cdots + \left(\cancel{ \frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\hspace{15pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{ 1 -\frac{1}{2n+1}\right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{n}{2n+1}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
すなわち、数列の和は
$$\large{S_n = \frac{n}{2n+1}}$$
と求めることができます。
問題2. 部分分数分解と数列の和
問題(2)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)}}$$
【問題2の解答】
まず、\(\displaystyle\large{\frac{1}{k(k+2)}}\) を部分分数分解します。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{k(k+2)}}\) が 以下のような部分分数に分けられたとします。
$$\large{\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+2)} = A \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\cdots (3)}$$
(3)式の右辺を以下のように変形します。
\begin{eqnarray}
\large A \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) &=& \large A \hspace{1pt}\frac{k+2 - k}{k\hspace{1pt}(k+2)}\\[0.7em]
&\large &\large =\large A\hspace{1pt} \frac{2}{k\hspace{1pt}(k+2)}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
したがって、\(\displaystyle\large{A=\frac{1}{2}}\) であるとき、\(\large{(3)\hspace{1pt}}\)式が成り立つため、
$$\large{\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)}$$
と部分分数分解されます。
次に、数列の和を書き並べて求めます。
\begin{eqnarray}
\large \hspace{20pt}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k \hspace{1pt}(k+2)} &=& \large \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+ \cdots + \left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right) + \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{\left( \frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+\left( \frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+\left( \cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}\right)+ \cdots + \left( \cancel{\frac{1}{n-1}}-\frac{1}{n+1}\right) + \left(\cancel{ \frac{1}{n}}-\frac{1}{n+2}\right)\right\}\hspace{15pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{ 1 + \frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
すなわち、数列の和は
$$\large{S_n = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}}$$
と求めることができます。
この問題では、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)項と第\(\large{3\hspace{1pt}}\)項、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)項と第\(\large{4\hspace{1pt}}\)項 のように \(\large{1\hspace{1pt}}\)つ飛ばしで各項が削除されることになります。
問題3. 3項の積の分数の和
問題(3)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} }$$
【問題3の解答】
問題の数列の和は、
$$\large{\hspace{10pt}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\hspace{10pt}}$$
と3つの項の積が分母となる分数の和です。
数列の和を求めるためには、隣り合う項どうしで項が削除されるようにするため、\(\large{f(k)-f(k+1)}\) の形になるように部分分数分解します。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{k(k+1)(k+2)}}\) が 以下のような部分分数に分けられたとします。
$$\large{\hspace{10pt}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = A \left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}\cdots (4)\hspace{10pt}}$$
(4)式の右辺を以下のように変形します。
\begin{eqnarray}
\large\hspace{10pt} A \left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\} &=& \large A \hspace{1pt}\frac{k+2 - k}{k(k+1)(k+2)}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large A\hspace{1pt} \frac{2}{k(k+1)(k+2)}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
したがって、\(\displaystyle\large{A=\frac{1}{2}}\) であるとき、\(\large{(4)\hspace{1pt}}\)式が成り立つため、
$$\large{\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{k(k+2)}\right)}$$
と部分分数分解されます。
次に、数列の和を書き並べて求めます。
\begin{eqnarray}
\large \hspace{20pt}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} &=& \large \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{\left( \frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}\right)+\left( \frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}\right)+\left( \frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{4\cdot5}\right)+ \cdots + \left( \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{\left( \frac{1}{1\cdot2}-\cancel{\frac{1}{2\cdot3}}\right)+\left( \cancel{\frac{1}{2\cdot3}}-\cancel{\frac{1}{3\cdot4}}\right)+\left( \cancel{\frac{1}{3\cdot4}}-\cancel{\frac{1}{4\cdot5}}\right)+ \cdots + \left( \cancel{\frac{1}{n(n+1)}}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
すなわち、数列の和は
$$\large{S_n = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}$$
と求めることができます。
問題4. ルートを含む分数の数列の和
問題(4)
次の和を求めよ
$$\large{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}}$$
【問題4の解答】
問題の数列の和は、
$$\large{\hspace{10pt}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\hspace{10pt}}$$
とルートの和が分母となる分数の数列の和です。
本問の場合は、問題の式を有理化することで和を求めます。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}}\) を有理化すると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\large \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &=& \large \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \sqrt{k+1}- \sqrt{k}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
次に、数列の和を書き並べて求めます。
\begin{eqnarray}
\large \hspace{20pt}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &=& \large \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{k+1}- \sqrt{k}\right)\\[0.7em]
&\large &\large =\large (\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3}) \cdots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large (\cancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1})+(\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}})+(\cancel{\sqrt{4}}-\cancel{\sqrt{3}}) \cdots + (\sqrt{n+1}-\cancel{\sqrt{n}})\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large -\sqrt{1} + \sqrt{n+1} \hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\sqrt{n+1}-1\\[0.7em]
\end{eqnarray}
すなわち、数列の和は
$$\large{S_n = \sqrt{n+1}-1}$$
と求めることができます。
問題5. ルートを含む分数の数列の和
問題(5)
次の和を求めよ
$$\large{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}}$$
【問題5の解答】
問題の数列の和は、
$$\large{\hspace{10pt}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}\hspace{10pt}}$$
とルートの和を分母とした分数の数列の和です。
本問の場合は、問題(4)と同様に有理化することで和を求めます。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}}\) を有理化すると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\large \hspace{10pt}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} &=& \large \frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}}{(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1})(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1})}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}}{2k-1-(2k+1)}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})\\[0.7em]
\end{eqnarray}
次に、数列の和を書き並べて求めます。
\begin{eqnarray}
\large \hspace{20pt}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} &=& \large \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{(\sqrt{3}-\sqrt{1})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5}) \cdots + (\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})\right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}\left\{(\cancel{\sqrt{3}}-\sqrt{1})+(\cancel{\sqrt{5}}-\cancel{\sqrt{3}})+(\cancel{\sqrt{7}}-\cancel{\sqrt{5}}) \cdots + (\sqrt{2n+1}-\cancel{\sqrt{2n-1}})\right\}\hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\large \frac{1}{2}(-\sqrt{1} + \sqrt{2n+1}) \hspace{10pt}\\[0.7em]
&\large &\large =\frac{1}{2}(\sqrt{2n+1}-1)\\[0.7em]
\end{eqnarray}
すなわち、数列の和は
$$\large{S_n = \frac{1}{2}(\sqrt{2n+1}-1)}$$
と求めることができます。