本項では以下の内容を解説しています。
まず、第\(\large{1}\)項から 第\(\large{\hspace{1pt}n \hspace{1pt}}\)項までの『自然数の和』,『二乗の和』,『三乗の和』の公式をそれぞれ示します。
本項では、上記の三乗の和の公式
$$\large{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2}$$
の証明や問題について解説します。
(二乗の和については別ページで解説しています。)
本章では、三乗の和の公式 $$\large{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2}$$を証明します。
三乗の和の公式の証明には、以下の式を使用します。 $$\large{(k+1)^4-k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k +1 \hspace{15pt}(1)}$$
(1)式において、\(\large{k=1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}3,\cdots,\hspace{1pt}n}\) を代入した結果を並べると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large 2^4 - 1^4 &\large =&\large 4 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1\\[0.7em] \large 3^4 - 2^4 &\large =&\large 4 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 1\\[0.7em] \large 4^4 - 3^4 &\large =&\large 4 \cdot 3^3 + 6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 + 1\\[0.7em] \large \cdots & &\large \cdots\\[0.7em] \large (n+1)^4 - n^4 &\large =&\large 4 \cdot n^3 + 6 \cdot n^2 + 4 \cdot n + 1\\[0.7em] \end{eqnarray}
上記の \(\large{n}\)個の式の両辺をそれぞれ加えることで
となります。
ここで、\(\large{1}\) から \(\large{n}\) までの三乗の和を \(\large{S_n}\) とします。 $$\large{S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}$$ また、\(\large{1}\) から \(\large{n}\) までの自然数の和は $$\large{1+2+3+ \cdots + n = \frac{1}{2} n (n+1)}$$ となります。また、\(\large{1}\) から \(\large{n}\) までの二乗の和は $$\large{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$ と表されます。
以上から、(2)式を変形すると
上式から 三乗の和 \(\large{S_n}\) を求めると、
すなわち、 $$\large{S_n = \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2}$$ 以上から、三乗の和の公式が導出されます。
例題の数列は、自然数の三乗の数列であるため、三乗の和の公式 $$\large{S_n = \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2}$$ に \(\large{n=8}\) を代入すると \begin{eqnarray} \large S_{8} &\large =&\large\left\{\frac{8}{2} (8+1)\right\}^2\\[0.7em] \large &\large =&\large 36^2\\[0.7em] \large &\large =&\large 1296\\[0.7em] \end{eqnarray} すなわち、例題の数列の和を \(\large{1296}\) と求めることができます。
本章では、三乗の和に関する問題と解き方について解説します。
【問題1の解答】
問題の数列の和は、 三乗の数列の和であり、三乗の和の公式
\begin{eqnarray}
\large
S_n &\large =&\large 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3\\[0.7em]
\large &\large =&\large \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2\\[0.7em]
\end{eqnarray}
から求めます。
問題の数列の和 \(\large{S}\) は、\(\large{12}\) の三乗までの和 \(\large{(S_{12})}\) から \(\large{4}\) の三乗までの和 \(\large{(S_4)}\) を引いて求めます。 $$\large{S = S_{12} - S_4}$$
まず、\(\large{1}\) の三乗から \(\large{12}\) の三乗までの和は \begin{eqnarray} \large S_{12} &\large =&\large \left\{\frac{12}{2} (12+1)\right\}^2\\[0.7em] \large &\large =&\large 78^2\\[0.7em] \large &\large =&\large 6084\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
次に、\(\large{1}\) の三乗から \(\large{4}\) の三乗までの和は \begin{eqnarray} \large S_{4} &\large =&\large \left\{\frac{4}{2} (4+1)\right\}^2\\[0.7em] \large &\large =&\large 10^2\\[0.7em] \large &\large =&\large 100\\[0.7em] \end{eqnarray} と求まられます。
すなわち、問題の三乗の和は \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large S_{12}-S_4\\[0.7em] \large &\large =&\large 6084 - 100\\[0.7em] \large &\large =&\large 5984\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
【問題2の解答】
問題の和は、 偶数の三乗の和であるため、三乗の和の公式
\begin{eqnarray}
\large
S_n &\large =&\large 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3\\[0.7em]
\large &\large =&\large \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2\\[0.7em]
\end{eqnarray}
が使えるように式を変形します。
問題の数列の和を変形すると、
と求められます。
【問題2の解答】
問題の和は、 奇数の三乗の和であるため、三乗の和の公式
\begin{eqnarray}
\large
S_n &\large =&\large 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3\\[0.7em]
\large &\large =&\large \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2\\[0.7em]
\end{eqnarray}
が使えるように式を変形します。
問題の数列の和を変形すると、
と求められます。