本項では以下の内容を解説しています。
\(\large{2\hspace{2pt}}\)つの試行に対して、それぞれの結果が互いに影響を与えないことを独立といいます。
\(\large{2\hspace{2pt}}\)つの試行\(\large{\hspace{1pt}S\hspace{2pt},\hspace{2pt}T\hspace{2pt}}\)が独立であるとき、\(\large{\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)の事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{3pt}}\)と\(\large{\hspace{2pt}T\hspace{2pt}}\)の事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が同時に起こる確率は、以下に示す確率の積により求めることができます。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)枚のコインの出方は {表,裏} の\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)通りがあるため、表の出る確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{1}{2}\hspace{2pt}}\)となります。
次に、\(\large{1\hspace{1pt}}\)個のサイコロを振ったときのすべての場合の数は $$\large{\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)通りがあり、そのうち\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)以上となるのは $$\large{\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)通りのため、サイコロの目が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)以上の確率は\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{3pt}}\)となります。
ここで、\(\large{1\hspace{1pt}}\)枚のコインを投げる試行 と \(\large{1\hspace{1pt}}\)個のサイコロを振る試行 は互いに他方の結果に影響を及ぼさないため、独立となります。
したがって、『コインの表』が出て『サイコロの目が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)以上』となる確率は $$\large{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}$$ となります。
\(\large{3\hspace{2pt}}\)つの試行\(\large{\hspace{1pt}T_1\hspace{2pt},\hspace{2pt}T_2\hspace{2pt},\hspace{2pt}T_3\hspace{2pt}}\)が独立であるとき、\(\large{\hspace{1pt}T_1\hspace{2pt}}\)の事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)、\(\large{\hspace{1pt}T_2\hspace{2pt}}\)の事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)、\(\large{\hspace{1pt}T_3\hspace{2pt}}\)の事象\(\large{\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)が同時に起こる確率は、以下のように求めることができます。
\(\large{4\hspace{2pt}}\)つ以上の独立な試行についても、同様な等式が成り立ちます。
\(\large{1\hspace{1pt}}\)個のサイコロを振ったときのすべての場合の数は $$\large{\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)通りがあります。
サイコロの目が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)以下となるのは $$\large{\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)通りのため、確率は\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\hspace{3pt}}\)となります。
同様に、サイコロの目が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)以下となる確率は\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{3pt}}\)となります。
また、サイコロの目が\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)となる確率は\(\displaystyle\large{\hspace{2pt}\frac{1}{6}\hspace{3pt}}\)となります。
サイコロを振る\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回の試行は独立であるため、求める確率は $$\large{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}}$$ と求められます。
本章では、独立な試行の確率に関連する問題と解き方について解説します。
解答と解説 : 問題1
解答と解説 : 問題2
解答と解説 : 問題3
解答と解説 : 問題4
\(\large{2\hspace{2pt}}\)回目に初めて当たりを引くとは、『\(\large{1\hspace{2pt}}\)回目に当たりを引かない』と『\(\large{2\hspace{2pt}}\)回目に当たりを引く』が同時に起こることを表します。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)回目に当たりを引かない確率は、\(\displaystyle\large{\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\hspace{2pt}}\) となります。
また、\(\large{2\hspace{2pt}}\)回目に当たりを引く確率は、\(\displaystyle\large{\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\hspace{2pt}}\) となります。
ここで、\(\large{1\hspace{2pt}}\)回目にくじを引く試行と\(\large{2\hspace{2pt}}\)回目にくじを引く試行は独立であるため、求める確率は $$\large{\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}}$$ と求められます。
少なくとも\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回当たりを引くことは、『\(\large{2\hspace{2pt}}\)回とも当たりを引かない』ことの余事象となります。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)回くじを引いて当たりを引かない確率は、\(\displaystyle\large{\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\hspace{2pt}}\) となります。
ここで、\(\large{1\hspace{2pt}}\)回目にくじを引く試行と\(\large{2\hspace{2pt}}\)回目にくじを引く試行は独立であるため、\(\large{2\hspace{2pt}}\)回とも当たりを引かない確率は $$\large{\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}}$$ と求められます。
したがって、少なくとも\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回当たりを引く確率は余事象の性質から $$\large{1- \frac{9}{16} = \frac{7}{16}}$$ と求められます。
\(\large{3\hspace{2pt}}\)回玉を引いて戻す試行はそれぞれ独立であるため、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回とも赤玉を選ぶ確率は $$\large{\frac{4}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{64}{343}}$$ と求められます。
事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『3回とも赤玉を選ぶ』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『3回とも白玉を選ぶ』とすると問題の『同じ色を選ぶ』は事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の和事象となります。
事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の確率を求めると、\(\large{3\hspace{2pt}}\)回玉を引いて戻す試行はそれぞれ独立であるため、 $$\large{\frac{3}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{27}{343}}$$ と求められます。
ここで、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は互いに排反事象であるため、和事象の確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A \cup B\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{64}{343} + \frac{27}{343}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{91}{343} \\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{13}{49} \\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『すべて赤玉を選ぶ』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『すべて白玉を選ぶ』とすると『玉の色がすべて同じ』という事象は 事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の和事象となります。
また、袋\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)から\(\large{1\hspace{2pt}}\)個の玉を選ぶ試行と、袋\(\large{\hspace{1pt}Q\hspace{2pt}}\)から\(\large{2\hspace{2pt}}\)個の玉を選ぶ試行は独立です。
まず、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の確率は、袋\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)から\(\large{1\hspace{2pt}}\)個の赤玉を選び、袋\(\large{\hspace{1pt}Q\hspace{2pt}}\)から\(\large{2\hspace{2pt}}\)個の赤玉を選ぶため、以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large \frac{4}{7}\times \frac{{}_5 C_2}{{}_7 C_2} & \large = & \large \frac{4}{7}\times \frac{10}{21}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{40}{147}\\[0.7em] \end{eqnarray}
次に、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の確率は、袋\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)から\(\large{1\hspace{2pt}}\)個の白玉を選び、袋\(\large{\hspace{1pt}Q\hspace{2pt}}\)から\(\large{2\hspace{2pt}}\)個の白玉を選ぶため、以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large \frac{3}{7}\times \frac{{}_2 C_2}{{}_7 C_2} & \large = & \large \frac{3}{7}\times \frac{1}{21}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{3}{147}\\[0.7em] \end{eqnarray}
事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の『すべて赤玉を選ぶ』と事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の『すべて白玉を選ぶ』は互いに排反事象であることから、求める確率は $$\large{\frac{40}{147} + \frac{3}{147} = \frac{43}{147}}$$ となります。
大中小のサイコロを振る試行はそれぞれ独立です。
目の積が偶数であることを言い換えると『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)個のサイコロのうち、少なくとも\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)個は偶数の目が出る』となります。
つまり、目の積が偶数であることの余事象は『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目がすべて奇数』となります。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目が奇数となる確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\hspace{2pt}}\)であるため、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目がすべて奇数である確率は $$\large{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}}$$ となります。
したがって、目の積が偶数である確率は余事象の性質から $$\large{1-\frac{1}{8} = \frac{7}{8}}$$ と求められます。
目の積が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)の倍数であることの余事象は『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目が\(\large{\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}1\hspace{2pt},\hspace{2pt}2\hspace{2pt},\hspace{2pt}4\hspace{2pt},\hspace{2pt}5\hspace{2pt}\}\hspace{2pt}}\)のいずれかが出る』となります。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目が\(\large{\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}1\hspace{2pt},\hspace{2pt}2\hspace{2pt},\hspace{2pt}4\hspace{2pt},\hspace{2pt}5\hspace{2pt}\}\hspace{2pt}}\)のいずれかとなる確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\hspace{2pt}}\)となります。
つまり、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目が\(\large{\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}1\hspace{2pt},\hspace{2pt}2\hspace{2pt},\hspace{2pt}4\hspace{2pt},\hspace{2pt}5\hspace{2pt}\}\hspace{2pt}}\)のいずれかである確率は $$\large{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}}$$ となります。
したがって、目の積が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)の倍数である確率は余事象の性質から $$\large{1-\frac{8}{27} = \frac{19}{27}}$$ と求められます。