本項では以下の内容を解説しています。
反復試行とは、同一の条件で独立な試行を繰り返すことをいいます。
例えば『コインを\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)回投げる』,『サイコロを\(\large{\hspace{1pt}7\hspace{2pt}}\)回投げる』や『くじを引き、元に戻すことを\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)回繰り返す』などの一連の試行は反復試行となります。
\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)個のサイコロを繰り返し投げる反復試行の確率を求める問題について考えます。
まず、\(\large{1\hspace{2pt}}\)個のサイコロを\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回振ったとき『\(\large{\hspace{2pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回目に\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)が出る』『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt},\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回目に\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)以外の目が出る』という事象の確率を求めてみます。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)の目が出る確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{1}{6}\hspace{2pt}}\)、それ以外の目が出る確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{5}{6}\hspace{2pt}}\)となります。
また、サイコロを振る\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回目から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回目のそれぞれの試行は独立であるため、この事象の確率は以下のように求められます。 $$\large{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^2\hspace{1pt}\left(\frac{5}{6}\right)^2}$$
ここで、『\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回目と\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回目に\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)が出て、\(\large{2\hspace{2pt}}\)回目と\(\large{4\hspace{2pt}}\)回目に\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)以外が出る確率』や『\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回目と\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回目に\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)が出て、\(\large{2\hspace{2pt}}\)回目と\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回目に\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)以外が出る確率』なども上記と同じ確率となります。
そこで、\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)の目が出るときを『〇』、\(\large{1\hspace{2pt}}\)以外の目が出ることを『\(\large{\hspace{1pt}×\hspace{2pt}}\)』として、\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)の目が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回出る全ての事象の数を数えます。
| \(\large{1\hspace{2pt}}\)回目 | \(\large{2\hspace{2pt}}\)回目 | \(\large{3\hspace{2pt}}\)回目 | \(\large{4\hspace{2pt}}\)回目 |
|---|---|---|---|
| 〇 | 〇 | \(\displaystyle \large{×}\) | \(\displaystyle \large{×}\) |
| 〇 | \(\displaystyle \large{×}\) | 〇 | \(\displaystyle \large{×}\) |
| 〇 | \(\displaystyle \large{×}\) | \(\displaystyle \large{×}\) | 〇 |
| \(\displaystyle \large{×}\) | 〇 | 〇 | \(\displaystyle \large{×}\) |
| \(\displaystyle \large{×}\) | 〇 | \(\displaystyle \large{×}\) | 〇 |
| \(\displaystyle \large{×}\) | \(\displaystyle \large{×}\) | 〇 | 〇 |
上記の表のように\(\large{4\hspace{2pt}}\)個の場所から\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)個の『〇』の場所を選ぶと考えると、その総数は\(\large{\hspace{1pt}{}_4 C_2=6\hspace{2pt}}\)となります。
この\(\large{6\hspace{2pt}}\)通りの事象は互いに排反事象であることから、求める確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_4 C_2\hspace{2pt} \left(\frac{1}{6}\right)^2\hspace{1pt}\left(\frac{5}{6}\right)^2 & \large = & \large 6 \times \frac{5^2}{6^4}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{25}{216} \\[0.7em] \end{eqnarray}
反復試行の確率は以下の公式から求められます。
上記の公式を利用して例題を解いてみます。
まず、\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回の試行で当たりを引く確率を求めます。
\(\large{12\hspace{1pt}}\)本のうち\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)本が当たりであるため、当たりを引く確率は $$\large{\frac{4}{12} = \frac{1}{3}}$$ と求められます。
次に、\(\large{5\hspace{2pt}}\)回のうち\(\large{2\hspace{2pt}}\)回当たりを引く事象の数を求めると \begin{eqnarray} \large \large {}_5 C_2 & \large = & \large \frac{5 \cdot 4}{2\cdot 1}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large 10 \\[0.7em] \end{eqnarray} よって、\(\large{10\hspace{2pt}}\)通りあることが分かります。
反復試行の確率の公式から、求める確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_5 C_2\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right)^2\hspace{1pt}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{5-2} & \large = & \large {}_5 C_2\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right)^2\hspace{1pt}\left(\frac{2}{3}\right)^3\\[0.7em] \large \large & \large = & \large 10 \times \frac{2^3}{3^5}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{80}{243} \\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
本章では、反復試行の確率に関連する問題と解き方について解説します。
解答と解説 : 問題1
解答と解説 : 問題2
解答と解説 : 問題3
解答と解説 : 問題4
解答と解説 : 問題5
\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が出る確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{2pt}}\)であるため、\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回出る確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_5 C_4\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right)^4\hspace{1pt}\left(\frac{2}{3}\right)^1 & \large = & \large 5 \times \frac{2}{3^5}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{10}{243} \\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。
\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が\(\large{4\hspace{2pt}}\)回以上出る確率は『\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回出る確率』と『\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)回出る確率』の和となります。
問題(1)で『\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回出る確率』を求めたため、『\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)回出る確率』のみを計算します。
\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が出る確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{2pt}}\)であるため、\(\large{2\hspace{2pt}}\)以下の目が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)回出る確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_5 C_5\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right)^5 & \large = & \large 1 \times \frac{1}{3^5}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{243} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、求める確率は $$\large{\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}}$$ となります。
\(\large{8\hspace{2pt}}\)個以上正解する確率は『\(\large{8\hspace{2pt}}\)個正解する確率』、『\(\large{9\hspace{2pt}}\)個正解する確率』、『\(\large{10\hspace{2pt}}\)個正解する確率』の和となります。
マークシートをランダムに選択して正解する確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{1}{4}\hspace{2pt}}\)であるため、\(\large{\hspace{1pt}8\hspace{2pt}}\)回正解する確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{10} C_8\hspace{2pt} \left(\frac{1}{4}\right)^8 \hspace{1pt}\left(\frac{3}{4}\right)^2 & \large = & \large 45 \times \frac{3^2}{4^{10}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{405}{1048576} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
また、\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{2pt}}\)回正解する確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{10} C_9\hspace{2pt} \left(\frac{1}{4}\right)^9 \hspace{1pt}\left(\frac{3}{4}\right) & \large = & \large 10 \times \frac{3}{4^{10}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{30}{1048576} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
また、\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)回正解する確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{10} C_{10}\hspace{2pt} \left(\frac{1}{4}\right)^{10} & \large = & \large 1 \times \frac{1}{4^{10}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{1048576} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、求める確率は \begin{eqnarray} \large \large \frac{405}{1048576} + \frac{30}{1048576} + \frac{1}{1048576} & \large = & \large \frac{436}{1048576}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{109}{262144} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
ちなみに\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{2pt}}\)個中\(\large{\hspace{1pt}8\hspace{2pt}}\)個以上正解する確率\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{109}{262144}\hspace{2pt}}\)を百分率で表すと 約\(\large{\hspace{1pt}0.042\hspace{2pt}}\)% となります。
『白玉が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回以上出る確率』をそのまま計算しようとすると、白玉が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回・\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)回・\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)回・\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回出る確率を足し合わせるため、\(\large{4\hspace{2pt}}\)回確率を計算する必要があります。
一方、『白玉が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回以下出る確率』の余事象から確率を求めると、白玉が\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)回・\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回・\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回の確率を求めればよいので、\(\large{3\hspace{2pt}}\)回の計算で確率を求めることができます。
一回の試行で白玉を取り出す確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{3}{5}\hspace{2pt}}\)であるため、白玉を\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回取り出す確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_2\hspace{2pt} \left(\frac{3}{5}\right)^2 \hspace{1pt}\left(\frac{2}{5}\right)^4 & \large = & \large 15 \times \frac{3^2 \times 2^4}{5^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{2160}{15625} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
また、白玉を\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回取り出す確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_1\hspace{2pt} \left(\frac{3}{5}\right) \hspace{1pt}\left(\frac{2}{5}\right)^5 & \large = & \large 6 \times \frac{3 \times 2^5}{5^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{576}{15625} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
また、白玉を\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)回取り出す確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_0\hspace{2pt} \left(\frac{2}{5}\right)^6 & \large = & \large 1 \times \frac{ 2^6}{5^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{64}{15625} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、白玉が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回以下出る確率は \begin{eqnarray} \large \large \frac{2160}{15625} + \frac{576}{15625} + \frac{64}{15625} & \large = & \large \frac{2800}{15625}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{112}{625} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
求める確率は、白玉の出る回数が\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)回以下のときの余事象であるため $$\large{1-\frac{112}{625} = \frac{514}{625}}$$ と求められます。
まず、\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回サイコロを振ったときに、\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数が\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)回出たとします。
\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回移動した後に点\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)が原点にいるとき、以下の式を満たします。 $$\large{1 \times a -1 \times (6-a) = 0}$$ \(\large{a\hspace{2pt}}\)について解くと、 \begin{eqnarray} \large 2a -6 & \large = & \large 0\\[0.7em] \large a & \large = & \large 3\\[0.7em] \end{eqnarray}
したがって、\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回出ると、点\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)が原点となります。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)回サイコロを振ったときの目が\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数となる確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{2pt}}\)であるため、\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)回出る確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_3\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right)^3 \hspace{1pt}\left(\frac{2}{3}\right)^3 & \large = & \large 20 \times \frac{ 2^3}{3^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{160}{729} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
まず、\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回サイコロを振ったときに、\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数が\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)回出たとします。
\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回移動した後に点\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)以上の座標にあるとき、以下の式を満たします。 $$\large{1 \times a -1 \times (6-a) \geqq 4 }$$ \(\large{a\hspace{2pt}}\)について解くと、 \begin{eqnarray} \large 2a -6 & \large \geqq & \large 4\\[0.7em] \large a & \large \geqq & \large 5\\[0.7em] \end{eqnarray}
したがって、\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)回以上出ると、点\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)以上となります。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)回サイコロを振ったときの目が\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数となる確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{2pt}}\)であるため、\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)回出る確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_5\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \hspace{1pt}\left(\frac{2}{3}\right) & \large = & \large 6 \times \frac{ 2}{3^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{12}{729} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
また、\(\large{3\hspace{2pt}}\)の倍数が\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回出る確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_6\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right)^6 & \large = & \large 1 \times \frac{ 1}{3^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{729} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、点\(\large{\hspace{1pt}P\hspace{2pt}}\)が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)以上となる確率は $$\large{\frac{12}{729} + \frac{1}{729} = \frac{13}{729}}$$ となります。
まず、\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回サイコロを振ったときに、\(\large{5\hspace{2pt}}\)以上の目が\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)回出たとします。
\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)回サイコロを振った後に点数が\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{2pt}}\)点以下であるとき、以下の式を満たします。 $$\large{3 \times a +1 \times (6-a) \leqq 9}$$ \(\large{a\hspace{2pt}}\)について解くと、 \begin{eqnarray} \large 2a +6 & \large \leqq & \large 9\\[0.7em] \large a & \large \leqq & \large \frac{3}{2}\\[0.7em] \end{eqnarray}
したがって、\(\large{5\hspace{2pt}}\)以上の目の出る回数が\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回以下のとき、点数が\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{2pt}}\)点以下となります。
\(\large{1\hspace{2pt}}\)回サイコロを振ったときの目が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)以上となる確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{2pt}}\)であるため、\(\large{5\hspace{2pt}}\)以上の目が\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)回出る確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_1\hspace{2pt} \left(\frac{1}{3}\right) \hspace{1pt}\left(\frac{2}{3}\right)^5 & \large = & \large 6 \times \frac{ 2^5}{3^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{192}{729} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
また、\(\large{5\hspace{2pt}}\)以上の目の出る回数が\(\large{\hspace{1pt}0\hspace{2pt}}\)回の確率は \begin{eqnarray} \large \large {}_{6} C_0\hspace{2pt} \left(\frac{2}{3}\right)^6 & \large = & \large 1 \times \frac{ 2^6}{3^{6}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{64}{729} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、点数が\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{2pt}}\)点以下となる確率は $$\large{\frac{192}{729} + \frac{64}{729} = \frac{256}{729}}$$ となります。