本項では以下の内容を解説しています。
順列とは『異なる複数のものから順序を考えて並べたもの』を意味します。
一方、組み合わせとは『異なる複数のものから順序を考えずに\(\large{1\hspace{1pt}}\)組にしたもの』を意味します。
例えば \(\large{A\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt}}\) の \(\large{3\hspace{1pt}}\)つの文字の順列の数を求める例題について考えます。
\(\large{3\hspace{1pt}}\)つの文字から\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの文字を取り出して並べる場合をすべて書き出すと、以下のようになります。 $$\large{(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(B\hspace{1pt},\hspace{2pt}A\hspace{1pt})}$$ $$\large{(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(C\hspace{1pt},\hspace{2pt}A\hspace{1pt})}$$ $$\large{(B\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(C\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt})}$$ したがって、 \(\large{6\hspace{1pt}}\)通りの並べ方が考えられます。
次に \(\large{A\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt}}\) の \(\large{3\hspace{1pt}}\)つの文字の組み合わせの数を求める例題について考えます。
\(\large{3\hspace{1pt}}\)つの文字から\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの文字を取り出した文字の組を書き並べると、以下のようになります。 $$\large{(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(B\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt})}$$ の\(\large{3\hspace{1pt}}\)通りの選び方があることが分かります。
\(\large{3\hspace{1pt}}\)つの文字から\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの文字を取り出す組み合わせの数は \(\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}2}}\) という記号で表します。
すなわち \(\large{\hspace{1pt}{}_3 C_{\hspace{1pt}2} = 3\hspace{1pt}}\) となります。
組み合わせの例題の\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)つの組 \(\large{(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt})}\) に着目すると、この組の \(\large{2\hspace{1pt}}\)文字を並べる並べ方は $$\large{(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(B\hspace{1pt},\hspace{2pt}A\hspace{1pt})}$$ となり、\(\large{{}_2 P_{\hspace{1pt}2} = 2\hspace{1pt}!}\) 通りとなります。
組み合わせの例題の\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)つの組 \(\large{\hspace{1pt}(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}B\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(A\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt})\hspace{1pt}, \hspace{2pt}(B\hspace{1pt},\hspace{2pt}C\hspace{1pt})\hspace{1pt}}\) にそれぞれ \(\large{2\hspace{1pt}!}\) 通りの並べ方が存在するため、順列の数 \(\large{{}_3 P_{\hspace{1pt}2}}\) と 組み合わせの数 \(\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}2}}\) の関係は $$\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}2} \times 2\hspace{1pt}! = {}_3 P_{\hspace{1pt}2}}$$ となります。
すなわち、\(\large{3\hspace{1pt}}\)つの文字から\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの文字を取り出す組み合わせの数 \(\large{{}_3 C_2}\) は $$\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}2} = \frac{{}_3 P_{\hspace{1pt}2}}{ \color{red}{2\hspace{1pt}!}}}$$ となります。
順列と組み合わせの違いは、ある\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)個のものから\(\large{\hspace{1pt}r\hspace{1pt}}\)個のものを取り出した時に 取り出した\(\large{\hspace{1pt}r\hspace{1pt}}\)個の順序を考慮するかどうかという点にあります。
\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)つの文字から\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの文字を取り出し並べる順列の数 \(\large{{}_3 P_{\hspace{1pt}2}}\) は、取り出した\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの文字の順序の違いを含んだ数となっています。
一方、組み合わせの数 \(\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}2}}\) を求めるためには、取り出した\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの文字の並べ方の数 \(\large{(\hspace{1pt}\color{red}{2\hspace{1pt}!}\hspace{1pt}\color{black}{})}\) で割る必要があります。
一般的には、ある\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)個のものから\(\large{\hspace{1pt}r\hspace{1pt}}\)個のものを取り出す組み合わせの数は \(\large{{}_n P_{\hspace{1pt}r}}\) を \(\large{\hspace{1pt}\color{red}{r\hspace{1pt}!}\hspace{1pt}\color{black}{}}\) で割ることで求められます。
組み合わせの総数は以下のように公式として求められます。
また、順列の公式を変形した \(\displaystyle\large{{}_nP_r =\frac{n\hspace{1pt}!}{(n-r)\hspace{1pt}!}}\) から以下のようにも書き表せます。
組み合わせの公式に以下の数字を当てはめて計算します
・(1) \(\large{n=4\hspace{1pt}}\), \(\large{r=3}\) のとき
\begin{eqnarray}
\large {}_4 C_3 & \large = & \large \frac{{}_4 P_{\hspace{1pt}3}}{3\hspace{1pt}!} \\[0.7em]
& \large = & \large \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} \\[0.7em]
\large & \large = & \large 4 \\[0.7em]
\end{eqnarray}
・(2) \(\large{n=7\hspace{1pt}}\), \(\large{r=4}\) のとき \begin{eqnarray} \large {}_7 C_4 & \large = & \large \frac{{}_7 P_{\hspace{1pt}4}}{4\hspace{1pt}!} \\[0.7em] & \large = & \large \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\[0.7em] \large & \large = & \large 35 \\[0.7em] \end{eqnarray}
\(\large{n\hspace{1pt}}\)個のものから\(\large{\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個のものを取る組み合わせの公式には、以下のような性質があります。
組み合わせの性質は以下のように示されます。
・(1) \(\large{{}_nC_r = {}_nC_{n-r}}\) の証明
\begin{eqnarray}
\large {}_nC_r & \large = & \large \frac{{}_nP_r}{r\hspace{1pt}!}\\[0.7em]
\large & \large = & \large \frac{n\hspace{1pt}!}{r\hspace{1pt}!\hspace{1pt}(n-r)\hspace{1pt}!}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
ここで、
$$\large{{}_nP_{n-r} = \frac{n\hspace{1pt}!}{(n-(n-r))\hspace{1pt}!}=\frac{n\hspace{1pt}!}{r\hspace{1pt}!}}$$
であることから
\begin{eqnarray}
\large\frac{n\hspace{1pt}!}{r\hspace{1pt}!\hspace{1pt}(n-r)\hspace{1pt}!} & \large = & \large \frac{{}_nP_{n-r}}{(n-r)\hspace{1pt}!} \\[0.7em]
\large & \large = & \large {}_nC_{n-r} \\[0.7em]
\end{eqnarray}
この公式は\(\large{\hspace{1pt}{}_nC_r\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{2pt}r\hspace{2pt}}\)の数が大きい場合に計算を楽にすることができます。(問題1)
・(2) \(\large{{}_nC_r ={}_{n-1}C_{r-1} + {}_{n-1}C_{r}}\) の証明
ここで、 \begin{eqnarray} \large (n-r-1)\hspace{1pt}! & \large = & \large \frac{(n-r)\hspace{1pt}!}{n-r}\\[0.7em] \large (r-1)\hspace{1pt}! & \large = & \large \frac{r\hspace{1pt}!}{r}\\[0.7em] \end{eqnarray} であることから、
となります。
・(3) \(\large{r\hspace{1pt}{}_nC_r = n\hspace{1pt}{}_{n-1}C_{r-1}}\) の証明
\begin{eqnarray}
\large r\hspace{1pt}{}_nC_r & \large = & \large r \times \frac{{}_nP_r}{r\hspace{1pt}!}\\[0.7em]
\large & \large = & \large r \times\frac{n\hspace{1pt}!}{r\hspace{1pt}!\hspace{1pt}(n-r)\hspace{1pt}!}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
\large n\hspace{1pt}! & \large = & \large n \times (n-1)\hspace{1pt}!\\[0.7em]
\large r\hspace{1pt}! & \large = & \large r \times (r-1)\hspace{1pt}!\\[0.7em]
\end{eqnarray}
であることから、
\begin{eqnarray}
\large \large r\hspace{1pt}{}_nC_r & \large = & \large r \times\frac{n\hspace{1pt}!}{r\hspace{1pt}!\hspace{1pt}(n-r)\hspace{1pt}!}\\[0.7em]
\large & \large = & \large n \times \frac{(n-1)\hspace{1pt}!}{(r-1)\hspace{1pt}!\hspace{1pt}(n-r)\hspace{1pt}!}\\[0.7em]
\large & \large = & \large n \times \frac{(n-1)\hspace{1pt}!}{(r-1)\hspace{1pt}!\hspace{1pt}\{(n-1)-(r-1)\}\hspace{1pt}!}\\[0.7em]
\large & \large = & \large n\hspace{1pt}{}_{n-1}C_{r-1}\\[0.7em]
\end{eqnarray}
本章では、組み合わせに関連する問題と解き方について解説します。
解答と解説 : 問題1
解答と解説 : 問題2
解答と解説 : 問題3
解答と解説 : 問題4
解答と解説 : 問題5
\(\large{{}_nC_r}\) の\(\large{\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)が大きい数字の場合は、組み合わせの公式の性質 \(\large{{}_nC_r = {}_nC_{n-r}}\) を使うと計算が楽になります。
組み合わせの公式の性質から $$\large{{}_{20} C_{\hspace{1pt}18} = {}_{20} C_{\hspace{1pt}2}}$$ となります。 \begin{eqnarray} \large {}_{20} C_{\hspace{1pt}2} & \large = & \large \frac{ {}_{20} P_{\hspace{1pt}2}}{2\hspace{1pt}!}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{20\cdot 19}{ 2\cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large 190\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、 $$\large{{}_{20\hspace{1pt}} C_{\hspace{1pt}18} = 190}$$ となります。
組み合わせの公式から \begin{eqnarray} \large {}_{n} C_{\hspace{1pt}3} & \large = & \large \large \frac{ {}_{n} P_{\hspace{1pt}3}}{3\hspace{1pt}!}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{ n(n-1)(n-2)}{3\cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{ n(n-1)(n-2)}{6}\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
\(\large{n \geqq 2}\) のとき、組み合わせの公式の性質 \(\large{{}_nC_r = {}_nC_{n-r}}\) から $$\large{{}_n C_{\hspace{1pt}n-2} = {}_n C_{\hspace{1pt}2}}$$ となります。 \begin{eqnarray} \large {}_n C_{\hspace{1pt}n-2} & \large = & \large {}_n C_{\hspace{1pt}2}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{ {}_n P_{\hspace{1pt}2}}{2\hspace{1pt}!}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1)}{ 2\cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1) }{2}\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、 $$\large{{}_n C_{\hspace{1pt}n-2} = \frac{n(n-1) }{2}}$$ となります。
問題(1)は並べ方の総数を求める問題であるため、順列の問題です。
\(\large{7\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選んで並べる並べ方は、順列の公式より \begin{eqnarray} \large {}_7 P_{\hspace{1pt}4} & \large = & \large 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \\[0.7em] \large & \large = & \large 840\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{840\hspace{1pt}}\)通りとなります。
問題(2)は選び方の総数を求める問題であるため、組み合わせの問題です。
\(\large{7\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は、組み合わせの公式より \begin{eqnarray} \large {}_7 C_{\hspace{1pt}4} & \large = & \large \frac{{}_7 P_{\hspace{1pt}4}}{4\hspace{1pt}!}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 }{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large 35\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{35\hspace{1pt}}\)通りとなります。
大人\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は、\(\large{{}_4 C_{\hspace{1pt}2}}\) 通りとなります。
そのおのおのに対して、子供\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は \(\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}2}}\) 通りあります。
したがって、大人\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)人と子供\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は \begin{eqnarray} \large {}_4 C_{\hspace{1pt}2} \times {}_3 C_{\hspace{1pt}2} & \large = & \large \frac{{}_4 P_{\hspace{1pt}2}}{2\hspace{1pt}! } \times \frac{{}_3 P_{\hspace{1pt}2}}{2\hspace{1pt}! }\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{4 \cdot 3 }{2 \cdot 1} \times \frac{3\cdot 2}{2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large 18\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{18\hspace{1pt}}\)通りとなります。
選び方に少なくとも1人選ぶという条件がある場合は、選び方の余事象を考えると計算が簡単になります。
本問の『少なくとも1人子供を選ぶ』という選び方の余事象は、『4人とも大人を選ぶ』となります。
大人\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は、\(\large{{}_4 C_{\hspace{1pt}4}}\) 通りとなります。
また、問題(2)から、\(\large{7\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は \(\large{35\hspace{1pt}}\)通りとなります。
したがって、\(\large{7\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選ぶとき、少なくとも\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)人子供を選ぶ選び方は \begin{eqnarray} \large 35 - {}_4 C_{\hspace{1pt}4} & \large = & \large 35 - 1\\[0.7em] \large & \large = & \large 34\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{34\hspace{1pt}}\)通りとなります。
組み分けの問題では、分けられる組が区別できるかに着目します。
問題(1)の \(\large{5\hspace{1pt}}\)人、\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人のグループは人数により区別ができるため、区別ができる組に分けることになります。
まず、\(\large{\hspace{1pt}12\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は \(\large{{}_{12} C_{\hspace{1pt}5}}\) 通りとなります。
そのおのおのに対して、残りの\(\large{\hspace{1pt}7}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方が \(\large{{}_7 C_{\hspace{1pt}4}}\) 通りあります。
残りの\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は \(\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}3}=1}\) 通りとなります。
以上から、\(\large{5\hspace{1pt}}\)人、\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人をグループに分ける方法は \begin{eqnarray} \large {}_{12} C_{\hspace{1pt}5} \times {}_{7} C_{\hspace{1pt}4} \times {}_{3} C_{\hspace{1pt}3}& \large = & \large \frac{{}_{12} P_{\hspace{1pt}5} }{5\hspace{1pt}!} \times \frac{{}_7 P_{\hspace{1pt}4} }{4\hspace{1pt}!} \times 1\\[0.7em] \large & \large = & \large 792 \times 35\\[0.7em] \large & \large = & \large 27720\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{27720\hspace{1pt}}\)通りとなります。
問題(2)は \(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt},\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\)と名前の付いた組に\(\large{4\hspace{1pt}}\)人ずつ分けるため、区別ができる組に分ける問題です。
まず、\(\large{\hspace{1pt}12\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選び\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt}}\)の組に入れる選び方は \(\large{{}_{12} C_{\hspace{1pt}4}}\) 通りとなります。
そのおのおのに対して、\(\large{8\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を選び\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{1pt}}\)の組に入れる選び方は \(\large{{}_8 C_{\hspace{1pt}4}}\) 通りあります。
残りの\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)人を\(\large{\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\)の組に入れる選び方は は \(\large{{}_4 C_{\hspace{1pt}4}=1}\) 通りとなります。
以上から、\(\large{4\hspace{1pt}}\)人ずつに\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt},\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\)のグループに分ける方法は \begin{eqnarray} \large {}_{12} C_{\hspace{1pt}4} \times {}_{8} C_{\hspace{1pt}4} \times {}_{4} C_{\hspace{1pt}4}& \large = & \large \frac{{}_{12} P_{\hspace{1pt}4} }{4\hspace{1pt}!} \times \frac{{}_8 P_{\hspace{1pt}4} }{4\hspace{1pt}!} \times 1\\[0.7em] \large & \large = & \large 495 \times 70\\[0.7em] \large & \large = & \large 34650\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{34650\hspace{1pt}}\)通りとなります。
問題(3)は \(\large{4\hspace{1pt}}\)人ずつ\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)グループに分けるだけのため、区別ができない組に分ける問題となります。
\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)グループの区別ができる場合は、区別できない場合と比較して \(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt},\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\) の順列の数 \(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}!\hspace{1pt}}\)通り の分だけ多く選び方があります。
したがって、問題(2)で区別できる場合で求めた選び方の数を \(\large{\hspace{1pt}\color{red}{3\hspace{1pt}!}\hspace{1pt}}\) で割ることで、区別できない場合の選び方の数を求めます。
すなわち、
したがって、\(\large{5775\hspace{1pt}}\)通りとなります。
問題(4)は \(\large{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}}\)人、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人のグループに分けます。このとき、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人に分ける\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)つのグループ同士は区別ができないことになります。
そこで、まず全ての組が区別できると考えて選び方を求めてから、\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)つの\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人グループによる順列の数 \(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}!\hspace{1pt}}\) で割ることで選び方の数を求めます。
\(\large{\hspace{1pt}12\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は \(\large{{}_{12} C_{\hspace{1pt}6}}\) 通りとなります。
そのおのおのに対して、\(\large{6\hspace{1pt}}\)人から\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は \(\large{{}_6 C_{\hspace{1pt}3}}\) 通りあります。
残りの\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人を選ぶ選び方は は \(\large{{}_3 C_{\hspace{1pt}3}=1}\) 通りとなります。
ここで、\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)つの\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)人グループは区別できないため、順列の数\(\large{\hspace{1pt}\color{red}{2\hspace{1pt}!}\hspace{1pt}}\) で割ります。
すなわち、
したがって、\(\large{9240\hspace{1pt}}\)通りとなります。
正八角形の\(\large{\hspace{1pt}8\hspace{1pt}}\)つの頂点から\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)つを選ぶと考えます。
\begin{eqnarray} \large {}_8 C_{\hspace{1pt}3} & \large = & \large \frac{{}_8 P_{\hspace{1pt}3} }{3\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{8\cdot 7 \cdot 6 }{3\cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large 56\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{56\hspace{1pt}}\)通りとなります。
正八角形の\(\large{\hspace{1pt}8\hspace{1pt}}\)つの頂点から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)つを選ぶと考えます。
\begin{eqnarray} \large {}_8 C_{\hspace{1pt}4} & \large = & \large \frac{{}_8 P_{\hspace{1pt}4} }{4\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large 70\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\large{70\hspace{1pt}}\)通りとなります。
まず、正八角形の\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)つの頂点を結んでできる線分の数を求めます。
\begin{eqnarray} \large {}_8 C_{\hspace{1pt}2} & \large = & \large \frac{{}_8 P_{\hspace{1pt}2} }{2\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{8\cdot 7 }{ 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large 28\\[0.7em] \end{eqnarray}
上記で求めた線分のうち、正八角形の辺は対角線ではないため、辺の本数を引くことで対角線の本数となります。 $$\large{28 - 8 = 20}$$ したがって、正八角形の対角線の本数は \(\large{\hspace{1pt}20\hspace{1pt}}\)本となります。
正\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)角形の\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)個の頂点から\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)個の頂点を選ぶと考えます。
\begin{eqnarray} \large {}_n C_{\hspace{1pt}3} & \large = & \large \frac{{}_n P_{\hspace{1pt}3} }{3\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\displaystyle\large{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\hspace{1pt}}\)通りとなります。
正\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)角形の\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)個の頂点から\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)個の頂点を選ぶと考えます。
\begin{eqnarray} \large {}_n C_{\hspace{1pt}4} & \large = & \large \frac{{}_n P_{\hspace{1pt}4} }{4\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、\(\displaystyle\large{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\hspace{1pt}}\)通りとなります。
まず、正\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)角形の\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)個の頂点を結んでできる線分の数を求めます。
\begin{eqnarray} \large {}_n C_{\hspace{1pt}2} & \large = & \large \frac{{}_n P_{\hspace{1pt}2} }{2\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1) }{ 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{n(n-1) }{ 2 }\\[0.7em] \end{eqnarray}
上記で求めた線分のうち、正\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)角形の辺は対角線ではないため、辺の本数を引くことで対角線の本数となります。 $$\large{\frac{n(n-1) }{ 2 } - n = \frac{n(n-3)}{2}}$$ したがって、正\(\large{\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)角形の対角線の本数は \(\displaystyle\large{\frac{n(n-3)}{2}\hspace{1pt}}\)本となります。