確率の性質

本項では以下の内容を解説しています。

• ・排反事象の確率
• ・和事象の確率
• ・余事象の確率
• ・問題の一覧

【1】確率の性質

本章では、確率の基本的な性質について解説をします。

【1-1】確率の基本的性質

任意の事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる確率\(\large{\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}}\)は以下を満たします。

特に、全事象\(\large{\hspace{1pt}U}\) や 空事象\(\large{\hspace{1pt}\phi}\) に対しては以下のようになります。

【1-2】排反事象の確率

ある試行における\(\large{2\hspace{1pt}}\)つの事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が同時には起こらないときに、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を排反事象といいます。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が互いに排反事象であるとき、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)または事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が起こる確率は以下のように求められます。

・例題

まず、\(\large{1\hspace{1pt}}\)個のサイコロを振ったときのすべての場合の数は $$\large{\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)通りあります。

ここで、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)以下の目が出る』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)の倍数の目が出る』とすると事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は以下のように表されます。 \begin{eqnarray} \large \large A & \large = & \large \{\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt}\}\\[0.7em] \large \large B & \large = & \large \{\hspace{1pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt}\}\\[0.7em] \end{eqnarray} つまり、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は同時には起こらないため、排反事象であることが分かります。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}P(A\hspace{1pt})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{2pt}}\)となります。

また、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}P(B\hspace{1pt})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\hspace{2pt}}\)となります。

したがって、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が互いに排反事象であることから \begin{eqnarray} \large \large P(A \cup B) & \large = & \large P(A) + P(B)\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{2}{3}\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。

【1-3】和事象の確率

ある試行における\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)つの事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が排反ではない場合、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)または事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が起こる確率は以下のように求められます。

・例題

まず、\(\large{1\hspace{1pt}}\)個のサイコロを振ったときのすべての場合の数は $$\large{\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)通りあります。

ここで、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)以下の目が出る』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)の倍数の目が出る』とすると事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は以下のように表されます。 \begin{eqnarray} \large \large A & \large = & \large \{\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt}\}\\[0.7em] \large \large B & \large = & \large \{\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt}\}\\[0.7em] \end{eqnarray} ここで、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は 共通部分\(\large{\hspace{2pt}A \cap B\hspace{2pt}=\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}}\) が存在するため、互いに排反ではないことが分かります。

確率\(\large{\hspace{1pt}P(A\hspace{1pt})\hspace{1pt},\hspace{1pt}P(B\hspace{1pt})\hspace{2pt}}\)と共通部分の確率\(\large{\hspace{1pt}P(A \cap B\hspace{1pt})\hspace{3pt}}\)の確率をそれぞれ求めると \begin{eqnarray} \large \large P(A) & \large = & \large \frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\[0.7em] \large \large P(B) & \large = & \large \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[0.7em] \large \large P(A \cap B) & \large = & \large \frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\[0.7em] \end{eqnarray}

したがって、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が互いに排反事象ではないことから \begin{eqnarray} \large \large P(A \cup B) & \large = & \large P(A) + P(B)-P(A \cap B)\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{2}{3} + \frac{1}{2} -\frac{1}{3}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{5}{6}\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。

【1-4】余事象の確率

ある試行における事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)に対して、その余事象が\(\large{\hspace{1pt}\overline{A}\hspace{2pt}}\)であるとき、余事象\(\large{\hspace{1pt}\overline{A}\hspace{2pt}}\)の確率は以下のように求められます。

・例題

まず、\(\large{10\hspace{1pt}}\)本のくじから\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)本を引く場合の数は \begin{eqnarray} \large \large {}_{10} C_{\hspace{1pt}2} & \large = & \large \frac{{}_{10} P_{\hspace{1pt}2} }{2\hspace{1pt}!}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{10 \cdot 9 }{2\cdot 1}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large 45\\[0.7em] \end{eqnarray} つまり、\(\large{\hspace{1pt}45\hspace{2pt}}\)通りとなります。

次に、『少なくとも\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)本が当たる』ことを事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)とすると、その余事象\(\large{\hspace{1pt}\overline{A}\hspace{2pt}}\)は『\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)本とも当たりを引かない』となります。

余事象\(\large{\hspace{1pt}\overline{A}\hspace{2pt}}\)の確率は、当たり以外の\(\large{7\hspace{1pt}}\)本から\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)本のくじを引く確率を求めればよいため \begin{eqnarray} \large \large P(\overline{A}\hspace{1pt}) & \large = & \large\frac{{}_7 C_2}{45}\\[0.7em] \large & \large = & \large\frac{21}{45}\\[0.7em] \large & \large = & \large\frac{7}{15}\\[0.7em] \end{eqnarray}

よって、少なくとも\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)本が当たる確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A\hspace{1pt}) & \large = & \large 1-P(\overline{A}\hspace{1pt})\\[0.7em] \large & \large = & \large 1-\frac{7}{15}\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{8}{15}\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。

【2】問題の一覧

本章では、確率の性質に関連する問題と解き方について解説します。

解答と解説 : 問題1

解答と解説 : 問題2

解答と解説 : 問題3

解答と解説 : 問題4

問題1の解答 : トランプから1枚引くときの確率

問題(1)の解答 | 5の倍数または絵札を選ぶ確率

まず、起こりうるすべての場合の数は\(\large{\hspace{1pt}52\hspace{2pt}}\)通りとなります。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{2pt}}\)の倍数の数を引く』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『絵札を引く』とします。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)は スペード・ハート・クラブ・ダイヤ の\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)種類それぞれに\(\large{\hspace{1pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt},\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\}\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{2pt}}\)枚があるため $$\large{2 \times 4 = 8}$$ から\(\large{\hspace{2pt}8\hspace{2pt}}\)通りあります。

よって、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{8}{52}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{2}{13} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

また、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は スペード・ハート・クラブ・ダイヤ の\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)種類それぞれに絵札が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)枚ずつあるため \begin{eqnarray} \large \large P(B\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{12}{52}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{3}{13} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

ここで、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は互いに排反事象であることから、求める確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A \cup B\hspace{1pt}) & \large = & \large P(A\hspace{1pt}) + P(B\hspace{1pt})\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{2}{13} + \frac{3}{13} \\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{5}{13}\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

問題(2)の解答 | 4の倍数または絵札を選ぶ確率

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)の倍数の数を引く』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『絵札を引く』とします。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)は スペード・ハート・クラブ・ダイヤ の\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)種類それぞれに\(\large{\hspace{1pt}\{\hspace{1pt}4\hspace{1pt},\hspace{1pt}8\hspace{1pt},\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\}\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)枚があるため $$\large{3 \times 4 = 12}$$ であることから、\(\large{\hspace{1pt}12\hspace{2pt}}\)通りあります。

よって、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{12}{52}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{3}{13} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

また、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は スペード・ハート・クラブ・ダイヤ の\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)種類それぞれに絵札が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)枚ずつあるため \begin{eqnarray} \large \large P(B\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{3 \times 4}{52}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{3}{13} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

ここで、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は互いに排反ではなく、数字が\(\large{\hspace{1pt}12\hspace{2pt}}\)であるときに共通部分を持ちます。

\(\large{\hspace{1pt}12\hspace{2pt}}\)を引く確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A \cap B\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{1 \times 4}{52}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{13} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。したがって、求める確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A \cup B\hspace{1pt}) & \large = & \large P(A\hspace{1pt}) + P(B\hspace{1pt}) -P(A \cap B\hspace{1pt})\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{3}{13} + \frac{3}{13}-\frac{1}{13} \\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{5}{13}\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

問題2の解答 : 数の書かれたカードを引く確率

問題の解答(1) | 4の倍数または7の倍数を引く確率

まず、起こりうるすべての場合の数は\(\large{\hspace{1pt}100\hspace{2pt}}\)通りとなります。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)の倍数の数を引く』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}7\hspace{1pt}}\)の倍数の数を引く』とします。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}}\)の倍数を書き並べると $$\large{\{\hspace{1pt}4 \cdot 1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{2pt}4 \cdot 2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\cdots\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}4 \cdot 25\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}25\hspace{1pt}}\)通りとなります。

また、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{1pt}7\hspace{2pt}}\)の倍数を書き並べると $$\large{\{\hspace{1pt}7 \cdot 1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{2pt}7 \cdot 2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\cdots\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}7 \cdot 14\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}14\hspace{1pt}}\)通りとなります。

ここで、共通部分\(\large{\hspace{2pt}A \cap B\hspace{2pt}}\)は\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)の倍数と\(\large{\hspace{1pt}7\hspace{2pt}}\)の倍数に共通する\(\large{\hspace{1pt}28\hspace{2pt}}\)の倍数を求めればよいので $$\large{\{\hspace{1pt}28 \cdot 1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{2pt}28 \cdot 2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}28 \cdot 3\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)通りとなります。

したがって、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)が互いに排反事象ではないことから \begin{eqnarray} \large \large P(A \cup B) & \large = & \large P(A) + P(B)-P(A \cap B)\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{25}{100} + \frac{14}{100} -\frac{3}{100}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{36}{100}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{9}{25}\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。

問題の解答(2) | 余事象の確率

問題(2)の『\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)の倍数でも\(\large{\hspace{1pt}7\hspace{2pt}}\)の倍数でもない数字を引く』ことの余事象は『\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)の倍数または\(\large{\hspace{1pt}7\hspace{2pt}}\)の倍数を引く』ことになります。

すなわち、余事象の確率の性質から $$\large{1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}}$$ と求められます。

問題3の解答 : 赤玉と白玉から選ぶ確率の問題

問題の解答(1) | 同じ色の玉を選ぶ確率

まず、起こりうるすべての場合の数は\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{2pt}}\)個の玉から\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)個の玉を選ぶため、\(\large{{}_9 C_{3}\hspace{2pt}}\)通りとなります。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)個とも赤玉を引く』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)個とも白玉を引く』とします。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{{}_5 C_{3}}{{}_9 C_{3}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{10}{84} \\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{5}{42}\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

また、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の確率は \begin{eqnarray} \large \large P(B\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{{}_4 C_{3}}{{}_9 C_{3}}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{4}{84} \\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{21}\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

ここで、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)は同時に起こらないため、互いに排反事象であることから、求める確率は \begin{eqnarray} \large \large P(A \cup B) & \large = & \large P(A) + P(B)\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{5}{42} + \frac{1}{21} \\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{6}\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

問題の解答(2) | 余事象の確率

問題(2)の『少なくとも\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{2pt}}\)個ずつ赤玉と白玉が含まれる』ことの余事象は『\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)個とも同じ色である』ことになります。

したがって、余事象の確率の性質から $$\large{1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6}}$$ と求められます。

問題4の解答 : サイコロの最大値と確率

問題の解答(1) | サイコロの目の最大値が4以下の確率

まず、大中小のサイコロを振ったときのすべての目の出方は\(\large{\hspace{1pt}6^3\hspace{2pt}}\)通りとなります。

また、\(\large{3\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)以下となる場合、それぞれのサイコロの目が\(\large{\hspace{1pt}\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}3\hspace{1pt},\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)通りのうちのどれかの目が出ることになります。

すなわち、サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)以下となる確率は $$\large{\frac{4^3}{6^3}=\frac{8}{27}}$$

問題の解答(2) | サイコロの目の最大値が4の確率

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)を『サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)以下』、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を『サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)以下』、事象\(\large{\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)を『サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)』とします。

事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B,\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)には $$\large{A = B \cup C}$$ の関係があります。

また、事象\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)の『サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)以下』と事象\(\large{\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)の『サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)』は、互いに排反事象となります。

すなわち、確率の性質から以下の関係が導かれます。 $$\large{P(A\hspace{1pt}) = P(B\hspace{1pt}) + P(C\hspace{1pt})}$$ 求める確率は事象\(\large{\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)の『サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}4\hspace{2pt}}\)』であることから、 $$\large{P(C\hspace{1pt}) = P(A\hspace{1pt}) - P(B\hspace{1pt})}$$ と変形して確率を求めます。

ここで、\(\large{3\hspace{2pt}}\)個のサイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)以下となる場合、それぞれのサイコロの目が\(\large{\hspace{1pt}\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)通りのうちどれかの目が出ることになります。

すなわち、サイコロの目の最大値が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)以下となる確率は \begin{eqnarray} \large \large P(B\hspace{1pt}) & \large = & \large \frac{3^3}{6^3}\\[0.7em] \large \large & \large = & \large \frac{1}{8} \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

したがって、求める確率は \begin{eqnarray} \large \large P(C\hspace{1pt}) & \large = & \large P(A\hspace{1pt}) - P(B\hspace{1pt})\\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{8}{27} - \frac{1}{8} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{37}{216} \\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。

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