本項では以下の内容を解説しています。
数学の順列は英語でpermutationといいます。
順列とは、異なる\(\large{n}\)個の要素から\(\large{r}\)個だけ取り出し、順序をつけて並べたときの配列の数のことを指します。
本章では、順列に関連した英語表現について解説します。
\(\large{n}\)個の要素から、\(\large{r}\)個の要素を取り出す順列を、"r-permutations of n"といいます。
また、\(\large{n}\)個の要素から\(\large{r}\)個の要素を取り出して並べるとき、順列の総数を\(\large{{}_nP_r}\)もしくは、\(\large{P(n,r)}\)と表します。
順列の総数\(\large{{}_nP_r}\)は以下の式により計算されます。
この順列の公式を英語で読むと、"n P r is equal to n factorial over n minus r factorial"といいます。
もしくは、"r-permutations of n is equal to n factorial over n minus r factorial"ともいいます。
("a over b"は分数\(\Large{\frac{a}{b}}\)を表す表現です。分数の英語表現は別ページに解説しています。)
例えば、5つの数字から3つの数字を選び順列を計算する場合、順列の数は以下のように計算されます。 $$\large{ {}_5 P_3 = \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}=60}$$
また、順列の公式から、異なる\(\large{n}\)個の要素を全て使用して並べたときの総数は、\(\large{n!}\)によって計算されます。
任意の負でない整数\(\large{n}\)の階乗は、\(\large{n!=n\times(n-1)\times \cdots \times 3 \times 2 \times 1}\)と計算されます。
つまり、\(\large{n}\)の階乗とは、『1からnまでの全ての正の整数を掛けあわせた値』を意味します。
\(\large{n}\)の階乗の定義を英語で説明すると、" n factorial is equal to the product of all positive integers from 1 to n."といいます。
階乗を表す『\(\large{!}\)』を使用した計算を"factorial function"といいます。
例えば、\(\large{5}\)の階乗を表す『\(\large{5!}\)』を英語で読むと、"five factorial"といいます。
同様に、順列の計算では整数\(\large{n}\)の階乗である『\(\large{n!}\)』をよく使用しますが、英語で"n factorial"と読みます。
順列は以下の3つの種類に分類されます。
| 用語 | 英語 | 公式 |
|---|---|---|
| 順列 | Permutations without repetition |
\(\large{\displaystyle {}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}}\) |
| 重複順列 | Permutations with repetition |
\(\large{ \displaystyle n^r }\) |
| 円順列 | Circular permutations | \(\large{ \displaystyle (n-1)! }\) |
"repetition"とは、『繰り返し』を意味する英語です。順列の分野では、『繰り返し選択する』=『重複を許す』という意味で使用されます。
順列は異なる\(\large{n}\)個の要素から\(\large{r}\)個を選び、その並べ方を数え上げる計算です。
一方、重複順列(Permutations with repetition)とは、重複を許して並べ方を数える計算方法です。
例えば、3つの記号{A,B,C}の順列は、(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B)の6通りとなります。
一方、記号{A,B,C}の重複順列は、順列の6通りに加えて(A,A),(B,B),(C,C)が許されるため、9通りとなります。
上記の例では、3つの記号から重複を許して2つ選択できるため、\(\large{n^r=3^2=9}\)という計算となります。
ここで、重複順列を計算するべき乗『\(\large{n^r}\)』はn (raised) to the (power of) rと言い表します。詳しくはべき乗(累乗)の英語表現で解説しています。
円順列(Circular permutations)とは、円状に並べたときの並べ方を数え上げる計算です。
記号A,B,C,Dの円順列は、記号Aを固定したときの、他の順列を数え上げることで計算することができます。
したがって、\(\large{(n-1)!=3!=6}\)であり、6通りであることが分かります。
順列に関連した英文を紹介します。
『順列とは、ある対象を特定の順序で配置することを表します。』を英語で表すと以下のようになります。
"A permutation is an arrangement of objects in a specific order."
『"english"の文字を並び替えて作られる順列は何通りあるか?』を英語で表すと以下のようになります。
"How many permutations can be made out of the letters of the word "english"."
『(1,2,3,4,5)の数字から4桁の数は何通り作ることができるか?』を英語で表すと以下のようになります。
"How many 4 digit numbers can be formed from numbers 1,2,3,4,5?"
"digit"は数字の桁を表す用語です。"4 digit number"は4桁の数字を表します。
4桁の数字を作ることは、1桁目から4桁目までの数字の順序を考慮するため、順列を計算することを意味します。
数学の組み合わせは、英語でcombinationといいます。
\(\large{n}\)個の要素から、\(\large{r}\)個の要素を取り出す組み合わせを、"r-combinations of n"といいます。
また、\(\large{n}\)個の数字から順序を考慮せずに\(\large{r}\)個の数字を選ぶ場合、その組み合わせの総数は\(\large{{}_n C_r}\)もしくは、\(\large{C(n,r)}\)と書きます。
組み合わせの総数\(\large{{}_n C_r}\)は以下の式により計算されます。
この順列の公式を英語で読むと、"n C r is equal to n factorial over r factorial times n minus r factorial"といいます。
もしくは、"r-combinations of n is equal to n factorial over r factorial times n minus r factorial"ともいいます。
("a over b"は分数\(\Large{\frac{a}{b}}\)を表しています。分数の英語表現は別ページに解説しています。)
例えば、5つの数字から3つの数字を選び組み合わせを計算する場合、組み合わせの数は以下のように計算されます。 $$\large{ {}_5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \times 2 \cdot 1}=10}$$
組み合わせの計算は、重複を許すかどうかにより2種類に分けられます。
| 用語 | 英語 | 公式 |
|---|---|---|
| (重複なし) 組み合わせ |
Combinations without repetition |
\(\large{\displaystyle {}_n C_r = \frac{n!}{r! (n-r)!}}\) |
| 重複 組み合わせ |
Combinations with repetition |
\(\large{ \displaystyle \frac{(n+r-1)!}{r! (n-r)!} }\) |
組み合わせに関連した英文を紹介します。
『組み合わせとは、順序を考慮せずに要素を選択することです。』を英語で表すと以下のようになります。
"A combination is a selection of items, where the order of selection doesn't matter."
『26文字から作られる3文字の組み合わせは何通りか?』を英語で表すと以下のようになります。
"How many 3 letter words can be formed from 26 letters?"
『10人から作られる5人組の組み合わせは何通りか?』を英語で表すと以下のようになります。
"How many groups of 5 people can be formed from 10 people?"
本項で解説した順列と組み合わせに関連する英語表現の用語の一覧を示します。
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| permutation | ・順列 |
| factorial function | ・階乗 |
| n factorial | ・nの階乗 |
| Permutations without repetition |
・(重複なしの)順列 |
| Permutations with repetition |
・重複順列 |
| Circular permutations | ・円順列 |
| repetition | ・繰り返し(重複) |
| digit | ・(数字の)桁 |
| combination | ・組み合わせ |
| Combinations without repetition |
・(重複なしの)組み合わせ |
| Combinations with repetition |
・重複組み合わせ |