余因子展開による行列式の求め方

【1】余因子展開

行列式は 行列式の定義 から導出されますが、定義から直接求めると計算量が多いため、実用的にはサラスの公式や余因子展開から行列式を計算します。

サラスの公式は 三次正方行列の行列式 \begin{eqnarray} \large |A|&\large = &\large \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right|\\[0.7em] \large &\large = &\large a_{11}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{33} + a_{12}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{31}+a_{13}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{32}\\[0.5em] \large &\large &\large -a_{11}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{32}-a_{12}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{33} -a_{13}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{31}\\ \end{eqnarray} であるという計算の規則を示します。

サラスの公式は 二次・三次の行列式に適用できますが、四次以上の行列式には使えません。
そこで、本項の 余因子展開 を使用することで四次以上の行列式でも計算できるようになります。

本章では、余因子 と 余因子展開 による行列式の求め方について解説します。

【1-1】余因子とは

\(\large{n\times n\hspace{1pt}}\)行列において、第\(\large{i\hspace{1pt}}\)行 と 第\(\large{j\hspace{1pt}}\)列 を削除した行列式を \(\large{D_{ij}}\) としたとき、 $$\large{\Delta_{i\hspace{1pt}j}=(-1)^{i+j}\hspace{2pt}D_{i\hspace{1pt}j}}$$ により定義される \(\large{\Delta_{i\hspace{1pt}j}}\) を 余因子 といいます。

・余因子の計算例(1)

例えば、行列 \(\large{A = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right)}\) の \(\large{(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt})}\) 成分の余因子を求めてみます。

行列\(\large{A}\) の第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行と第\(\large{1\hspace{1pt}}\)列を削除した行列式 \(\large{D_{11}}\) は $$\large{D_{1\hspace{1pt}1} = \left|\begin{array}{cc} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right|}$$ となります。

したがって、\(\large{(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt})}\) 成分の余因子\(\large{\Delta_{11}}\) は \begin{eqnarray} \large \Delta_{1\hspace{1pt}1}&\large =&\large (-1)^{1+1}\hspace{2pt}D_{1\hspace{1pt}1} \\[0.7em] \large &\large =&\large (+1) \left |\begin{array}{cc|cc} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right |\\[0.7em] &\large =&\large a_{22}\hspace{2pt} a_{33} - a_{23}\hspace{2pt} a_{32} \end{eqnarray} となります。

・余因子の計算例(2)

次に、行列 \(\large{A = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right)}\) の \(\large{(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt})}\) 成分の余因子を求めてみます。

行列\(\large{A}\) の第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行と第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列を削除した行列式 \(\large{D_{23}}\) は $$\large{D_{2\hspace{1pt}3} = \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{array} \right|}$$ となります。

したがって、\(\large{(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt})}\) 成分の余因子\(\large{\Delta_{23}}\) は \begin{eqnarray} \large \Delta_{2\hspace{1pt}3}&\large =&\large (-1)^{2+3}\hspace{2pt}D_{2\hspace{1pt}3} \\[0.7em] \large &\large =&\large (-1) \left |\begin{array}{cc|cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{array} \right |\\[0.7em] &\large =&\large a_{12}\hspace{2pt} a_{31}- a_{11}\hspace{2pt} a_{32} \end{eqnarray} となります。

・例題

行列\(\large{A}\) の \(\large{(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt})}\) 成分の余因子は \begin{eqnarray} \large \Delta_{1\hspace{1pt}1}&\large =&\large (-1)^{1+1}\hspace{2pt}D_{1\hspace{1pt}1} \\[0.7em] \large &\large =&\large \left |\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 1 & 0\\ \end{array} \right |\\[0.7em] &\large =&\large -2\times 0 - (-1)\times 1\\[0.7em] &\large =&\large 1 \end{eqnarray} となります。

また、行列\(\large{A}\) の \(\large{(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt})}\) 成分の余因子は \begin{eqnarray} \large \Delta_{2\hspace{1pt}3}&\large =&\large (-1)^{2+3}\hspace{2pt}D_{2\hspace{1pt}3} \\[0.7em] \large &\large =&\large (-1)\times \left |\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 4 & 1\\ \end{array} \right |\\[0.7em] &\large =&\large -1 \times (1\times 1 - 3\times 4)\\[0.7em] &\large =&\large 11 \end{eqnarray} となります。

【1-2】余因子展開

\(\large{n\hspace{1pt}}\)次正方行列 $$\large{A= \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,n}\\ \end{array} \right)}$$ の行列式\(\large{|A|}\) について以下が成り立ちます。

・例題

二次正方行列の第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行における余因子展開は $$\large{ |A|= a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12} }$$ となります。

余因子\(\large{\Delta_{11},\hspace{2pt}\Delta_{12}}\) を計算すると、 \begin{eqnarray} \large \Delta_{11}&\large =&\large (-1)^{1+1}\hspace{2pt}d = d\\[0.5em] \large \Delta_{12}&\large =&\large (-1)^{1+2}\hspace{2pt}c = -c\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。(一次正方行列\(\large{A=(a_{11})}\) の行列式 は \(\large{|a_{11}|=a_{11}}\) であることを使用しています。)

すなわち、行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12} \\[0.5em] \large &\large =&\large a\times d +b \times (-\hspace{1pt}c) \\[0.5em] \large &\large =&\large a\hspace{1pt}d-b\hspace{1pt}c \\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【2】問題と解き方

【解答と解説】: 問題(1)

【解答と解説】: 問題(2)

【解答と解説】: 問題(3)

問題(1) 三次正方行列の行列式

【解答と解説】

余因子展開は『(成分)×(余因子)』の和から求められるため、\(\large{0}\) の成分が多い行(列)について計算をすると簡単になります。

本問では、最も \(\large{0\hspace{3pt}}\)の個数の多い第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行について余因子展開をすると $$\large{ \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{31}\hspace{1pt}\Delta_{31} + a_{32}\hspace{1pt}\Delta_{32} + a_{33}\hspace{1pt}\Delta_{33} \\[0.5em] \large &\large =&\large \color{red}{0}\color{black}{} \times\Delta_{31} + \color{red}{0}\color{black}{} \times \Delta_{32} + 2 \times \Delta_{33} \\ \large &\large =&\large2\cdot\Delta_{33} \\ \end{eqnarray} }$$ となります。

余因子\(\large{\Delta_{33}}\) を計算すると、 \begin{eqnarray} \large \Delta_{33}&\large =&\large (-1)^{3+3}\hspace{2pt} \left|\begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 3 & 5 \\ \end{array} \right| = 29\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

したがって、 \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large 2 \times \Delta_{33}\\[0.5em] &\large =&\large 2 \times 29\\[0.5em] &\large =&\large 58\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(2) 三次正方行列の行列式

【解答と解説】

三次正方行列の\(\large{1\hspace{1pt}}\)行における余因子展開は $$\large{ |A|= a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12} + a_{13}\hspace{1pt}\Delta_{13} }$$ となります。

余因子\(\large{\Delta_{11},\hspace{2pt}\Delta_{12},\hspace{2pt}\Delta_{13}}\) を計算すると、 \begin{eqnarray} \large \Delta_{11}&\large =&\large (-1)^{1+1}\hspace{2pt} \left|\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| = 5\\[0.5em] \large \Delta_{12}&\large =&\large (-1)^{1+2}\hspace{2pt} \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right| = 7\\[0.5em] \large \Delta_{13}&\large =&\large (-1)^{1+3}\hspace{2pt} \left|\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 4 & -1 \\ \end{array} \right| = -13 \end{eqnarray} となります。

すなわち、行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12}+ a_{13}\hspace{1pt}\Delta_{13} \\[0.5em] \large &\large =&\large -1 \times 5 + 1 \times 7 + 3 \times (-13)\\[0.5em] \large &\large =&\large -37 \\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【別解の解説】

余因子展開は $$\large{ |A|= a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12} + a_{13}\hspace{1pt}\Delta_{13} }$$ のように、『(成分)×(余因子)』の和から計算されるため、特定の行(列)の成分に 0 を作り出すことで簡単に計算することができます。

そこで、行列式の性質の一つである『ある行(列)の定数倍を他の行(列)に足しても、行列式の値は変わらない』という性質を利用し、行列式の特定の行や列の成分を \(\large{0}\) に変換して計算します。

$$\large{|A| = \left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 3\\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ \end{array} \right|}$$ に対して、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)列 を 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)列 に加えると $$\large{|A| = \left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & 1 & 3\\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{array} \right|}$$ となります。

さらに、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)列 の \(\large{-3\hspace{1pt}}\)倍 を 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列 に加えると $$\large{|A| = \left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & 1 & \color{red}{0}\color{black}{}\\ 4 & 3 & -7 \\ 3 & -1 & 4 \\ \end{array} \right|}$$ となります。

ここで、行列式\(\large{|A|}\)の 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行 における余因子展開は $$\large{ \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12} + a_{13}\hspace{1pt}\Delta_{13} \\[0.5em] \large &\large =&\large \color{red}{0}\color{black}{} \times\Delta_{11} + 1 \times \Delta_{12} + \color{red}{0}\color{black}{} \times \Delta_{13} \\ \large &\large =&\large\Delta_{12} \\ \end{eqnarray} }$$ となります。
したがって、余因子\(\large{\Delta_{12}}\) だけを計算すればよいので、 $$\large{\Delta_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{cc} 4 & -7 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right| = -37}$$ すなわち、 $$\large{|A|=-37}$$ と求めることができます。

問題(3) 四次正方行列の行列式

【解答と解説】

行列式の性質である『ある行(列)の定数倍を他の行(列)に足しても、行列式の値は変わらない』を利用し、行列式の特定の行や列の成分を \(\large{0}\) に変換して計算します。

$$\large{|A| = \left|\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 4 & 3\\ -1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \\ \end{array} \right|}$$ に対して、第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列 の \(\large{-3}\)倍 を 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)列 に加えると $$\large{|A| = \left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & 4 & 1 & 2\\ -10 & 1 & 4 & 3\\ -7 & -1 & 2 & 1 \\ -8 & 2 & 3 & -1 \\ \end{array} \right|}$$ となります。

また、第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列 の \(\large{-4}\)倍 を 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)列 に加えると $$\large{|A| = \left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & \color{red}{0}\color{black}{} & 1 & 2\\ -10 & -15 & 4 & 3\\ -7 & -9 & 2 & 1 \\ -8 & -10 & 3 & -1 \\ \end{array} \right|}$$ となります。

また、第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列 の \(\large{-2}\)倍 を 第\(\large{4\hspace{1pt}}\)列 に加えると $$\large{|A| = \left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & \color{red}{0}\color{black}{} & 1 & \color{red}{0}\color{black}{}\\ -10 & -15 & 4 & -5\\ -7 & -9 & 2 & -3 \\ -8 & -10 & 3 & -7 \\ \end{array} \right|}$$ となります。

ここで、行列式\(\large{|A|}\)の 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行 における余因子展開は $$\large{ \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12} + a_{13}\hspace{1pt}\Delta_{13} +a_{14}\hspace{1pt}\Delta_{14} \\[0.5em] \large &\large =&\large \color{red}{0}\color{black}{} \times\Delta_{11} + \color{red}{0}\color{black}{} \times \Delta_{12} + 1 \times \Delta_{13} + \color{red}{0}\color{black}{} \times \Delta_{14} \\ \large &\large =&\large\Delta_{13} \\ \end{eqnarray} }$$ となります。
したがって、余因子\(\large{\Delta_{13}}\) だけを計算すればよいので、 \begin{eqnarray} \large \Delta_{13} &\large =&\large (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{cc} -10 & -15 & -5 \\ -7 & -9 & -3 \\ -8 & -10 & -7 \\ \end{array} \right| \\[0.5em] \large &\large =&\large - 5\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 &1 \\ 7 & 9 & 3 \\ 8 & 10 & 7 \\ \end{array} \right| \\ \end{eqnarray} すなわち、 $$\large{|A|=-5 \left|\begin{array}{cc} 2 & 3 &1 \\ 7 & 9 & 3 \\ 8 & 10 & 7 \\ \end{array} \right| }$$ となります。

さらに行列式\(\large{|A|}\) に対して、第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列 の \(\large{-2}\)倍 を 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)列 に加えると $$\large{|A| =-5 \left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & 3 &1 \\ 1 & 9 & 3 \\ -6 & 10 & 7 \\ \end{array} \right|}$$ となります。

また、第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列 の \(\large{-3}\)倍 を 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)列 に加えると $$\large{|A| = -5\left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & \color{red}{0}\color{black}{} &1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -6 & -11 & 7 \\ \end{array} \right|}$$ となります。

ここで、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行における余因子展開から $$\large{ \begin{eqnarray} \large \left|\begin{array}{ccc} \color{red}{0}\color{black}{} & \color{red}{0}\color{black}{} &1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -6 & -11 & 7 \\ \end{array} \right|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}\Delta_{11} + a_{12}\hspace{1pt}\Delta_{12} + a_{13}\hspace{1pt}\Delta_{13} \\[0.5em] \large &\large =&\large \color{red}{0}\color{black}{} \times\Delta_{11} + \color{red}{0}\color{black}{} \times \Delta_{12} + 1 \times \Delta_{13} \\[0.5em] \large &\large =&\large\Delta_{13} \\[0.5em] \large &\large =&\large \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ -6 & -11 \\ \end{array} \right|\\ \large &\large =&\large -11 \end{eqnarray} }$$ となります。

したがって、 $$\large{|A|=-5 \times (-11) = 55}$$ と求められます。

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