ある数にかけ算すると \(\large{1}\) となるような数を逆数といいます。
\(\large{a}\) の逆数を \(\large{b}\) とすれば、以下の式を満たします。 $$\large{ab =ba = 1}$$
一方、行列の演算の場合、ある行列\(\large{A}\) と同じ次数の単位行列を \(\large{E}\) とするとき、 $$\large{ AB= BA = E}$$ を満たす行列\(\large{B}\) を行列\(\large{A}\) の 逆行列 といいます。
行列\(\large{A}\) に対し、必ずしも 逆行列\(\large{A^{-1}}\) が存在するとは限りません。
行列\(\large{A}\) に 逆行列\(\large{A^{-1}}\) が存在する場合、行列\(\large{A}\) を 正則行列 といいます。
2×2行列の逆行列は以下のように求められます。
行列\(\large{A}\) の逆行列\(\large{A^{-1}}\) が存在しているためには、\(\large{ad-bc \neq 0}\) である必要があります。
まず、\(\large{ad-bc = 1\cdot8-3\cdot2 = 2}\) より、行列\(\large{A}\) には逆行列が存在します。
逆行列\(\large{A^{-1}}\) は、 \begin{eqnarray}\large A^{-1} &\large =&\large \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 8 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right) \\[0.5em] &\large =&\large \left(\begin{array}{cc} 4 & -\frac{3}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} と求められます。
\(\large{ad-bc = 3\cdot(-4)-(-6)\cdot2 = 0}\) より、行列\(\large{A}\) には逆行列が存在しません。
本章では、掃き出し法による逆行列の求め方について解説します。
掃き出し法により逆行列を求める場合、同じ次数の単位行列\(\large{E}\) との拡大係数行列 \(\large{(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}|\hspace{1pt}E\hspace{2pt})}\) が \(\large{(\hspace{1pt}E\hspace{2pt}|\hspace{1pt}X\hspace{2pt})}\) と変換されるとき、行列\(\large{X}\) が 行列\(\large{A}\) の逆行列\(\large{A^{-1}}\) となることを利用して求めます。
掃き出し法とは、 拡大係数行列 を利用して連立一次方程式を解く手法として知られています。
以下のような連立一次方程式を解くとします。
\begin{eqnarray}\large
\left\{
\begin{array}{l}
\large a_{11} \hspace{2pt}x + a_{12}\hspace{2pt}y = b_1 \\
\large a_{21}\hspace{2pt}x + a_{22}\hspace{2pt}y = b_2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
この連立一次方程式を行列で表すと、行列の積から以下のようになります。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \end{array} \right) }$$
上記の連立一次方程式を、以下のように表記した行列を 拡大係数行列 といいます。
$$\large{ \left(\begin{array}{cc|c}
a_{11} & a_{12} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & b_2\\
\end{array}
\right)}$$
掃き出し法により連立一次方程式を解くには、以下の①～③の手順から、拡大係数行列の左側が 単位行列 となるように変形します。
ここで、行列\(\large{A = \left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right)}\) の逆行列 \(\large{A^{-1}}\) を $$\large{A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2\\ \end{array} \right)}$$ とします。
このとき、 $$\large{AA^{-1} = E}$$ が成り立ちます。
上式を成分で表すと、以下のようになります。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2\\ \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{array} \right) }$$
すなわち、以下の \(\large{2\hspace{1pt}}\)つの連立一次方程式 $$\large{\begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large a_{11} \hspace{2pt}x_1 + a_{12}\hspace{2pt}y_1 = 1 \\ \large a_{21}\hspace{2pt}x_1 + a_{22}\hspace{2pt}y_1 = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$ と $$\large{\begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large a_{11} \hspace{2pt}x_2 + a_{12}\hspace{2pt}y_2 = 0 \\ \large a_{21}\hspace{2pt}x_2 + a_{22}\hspace{2pt}y_2 = 1 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$ の解が逆行列の成分となります。
上記の連立一次方程式を拡大係数行列で表記すると、 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{12} & 1\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ \end{array} \right),\hspace{5pt} \left(\begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{12} & 0\\ a_{21} & a_{22} & 1\\ \end{array} \right)}$$ となります。
この \(\large{2\hspace{1pt}}\)つの拡大係数行列の解は、掃き出し法により $$\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & x_1\\ 0 & 1 & y_1\\ \end{array} \right),\hspace{5pt} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & x_2\\ 0 & 1 & y_2\\ \end{array} \right)}$$ と変換することで求めることができます。
上記の \(\large{2\hspace{1pt}}\)つの拡大係数行列を \(\large{1\hspace{1pt}}\)つにまとめると $$\large{ \left(\begin{array}{cc|cc} a_{11} & a_{12}& 1 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & 1\\ \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & x_1 & y_1\\ 0 & 1 & x_2 & y_2\\ \end{array} \right)}$$ と変形することで、行列\(\large{A = \left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right)}\) の 逆行列\(\large{A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\\ \end{array}\right)}\) を求めることができます。
ここでは \(\large{2\times2\hspace{1pt}}\)行列の逆行列の求め方について解説しましたが、\(\large{2\hspace{1pt}}\)次以上の行列の逆行列も同様に求められます。
掃き出し法による逆行列の求め方をまとめると、以下のようになります。
掃き出し法により逆行列を求める場合は、まず 以下のような \(\large{(A|E)}\) の形式の拡大係数行列を作ります。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 &1&0\\ 2 & 8 &0 &1\\ \end{array} \right)}$$ 上記の拡大係数行列の左側が単位行列となるように、行基本変形を繰り返します。
まず、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行を \(\large{-2\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 &1&0\\ 0 & 2 &-2 &1\\ \end{array} \right)}$$ 次に、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\displaystyle\large{-\frac{3}{2}\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 4& -\frac{3}{2}\\ 0 & 2 &-2 &1\\ \end{array} \right)}$$ 次に、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\large{2\hspace{1pt}}\)で割ります。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 4& -\frac{3}{2}\\ 0 & 1 &-1 &\frac{1}{2}\\ \end{array} \right)}$$ 以上から、逆行列\(\large{A^{-1}}\) は $$\large{A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} 4& -\frac{3}{2}\\ -1 &\frac{1}{2}\\ \end{array} \right)}$$ と求めることができます。
本章では、余因子による逆行列の求め方について解説します。
\(\large{n\times n\hspace{1pt}}\)行列において、\(\large{i\hspace{1pt}}\)行\(\large{j\hspace{1pt}}\)列を削除した行列式を \(\large{D_{ij}}\) としたとき、 $$\large{\Delta_{i\hspace{1pt}j}=(-1)^{i+j}\hspace{2pt}D_{i\hspace{1pt}j}}$$ により定義される \(\large{\Delta_{i\hspace{1pt}j}}\) を 余因子 といいます。
例えば、行列 \(\large{A = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right)}\) の \(\large{(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt})}\) 成分の余因子は \begin{eqnarray} \large \Delta_{2\hspace{1pt}2}&\large =&\large (-1)^{2+2}\hspace{2pt}D_{2\hspace{1pt}2} \\[0.7em] \large &\large =&\large (+1) \left |\begin{array}{cc|cc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}\\ \end{array} \right |\\[0.7em] &\large =&\large a_{11}\hspace{2pt} a_{33} - a_{13}\hspace{2pt} a_{31} \end{eqnarray} となります。
余因子\(\large{\Delta_{i\hspace{1pt}j}}\) によって 行列\(\large{A}\) の逆行列\(\large{A^{-1}}\) は以下のように求められます。
まず、サラスの公式から行列式\(\large{|A|}\) を求めると、 $$\large{|A|=-8+2-2-2+4+4 = -2}$$ よって、逆行列\(\large{A^{-1}}\) は存在します。
次に、余因子\(\large{\Delta_{i\hspace{1pt}j}}\) を計算します。
求める逆行列\(\large{A^{-1}}\) は、
\begin{eqnarray} \large A^{-1}&\large =&\large \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{11} & \Delta_{21} & \Delta_{31} \\ \Delta_{12} & \Delta_{22} & \Delta_{32} \\ \Delta_{13} & \Delta_{23} &\Delta_{33} \\ \end{array} \right) \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{-2} \left(\begin{array}{ccc} -10 & -1 & -6 \\ -6 & -1 &-4 \\ 2 & 0 &2 \\ \end{array} \right)\\[0.5em] &\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} 5 & \frac{1}{2} & 3 \\ 3 & \frac{1}{2} &2 \\ -1 & 0 &-1 \\ \end{array} \right)\\ \end{eqnarray}【解答と解説】: 問題(1)
【解答と解説】: 問題(2)
【解答と解説】
掃き出し法により逆行列を求める場合は、まず 以下のような \(\large{(A|E)}\) の形式の拡大係数行列を作ります。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)}$$ 上記の拡大係数行列の左側が単位行列となるように、行基本変形を繰り返します。
第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行を 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行 に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行を \(\displaystyle\large{3\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行 に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & 1 & 3\\ -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行を 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行 に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & 1 & 3\\ 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行を \(\displaystyle\large{-2\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行 に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\displaystyle\large{2\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行 に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\displaystyle\large{3\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行 に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0 & -5 & 3 & -1\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行 と 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行を \(\displaystyle\large{-1\hspace{1pt}}\)倍し、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行 と 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行 を入れ替えます。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 5 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1\\ \end{array} \right)}$$ 以上から、逆行列\(\large{A^{-1}}\) は $$\large{A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc} -3 & 2 & -1\\ 5 & -3 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ \end{array} \right)}$$ と求めることができます。
【解答と解説】
まず、サラスの公式から行列式\(\large{|A|}\) を求めると、 $$\large{|A|=2-2-3+4-3+1 = -1}$$ となります。
次に、余因子\(\large{\Delta_{i\hspace{1pt}j}}\) を計算します。
\begin{eqnarray} \large \Delta_{1\hspace{1pt}1}&\large =&\large \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| = 3\hspace{1pt},\hspace{7pt} \Delta_{1\hspace{1pt}2}= -\left|\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| = -5\\[0.7em] \large \Delta_{1\hspace{1pt}3} &\large =&\large \left|\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{array} \right| = -2\hspace{1pt},\hspace{5pt} \Delta_{2\hspace{1pt}1}= -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| = -2\\[0.7em] \large \Delta_{2\hspace{1pt}2} &\large =&\large \left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| = 3\hspace{1pt},\hspace{7pt}\Delta_{2\hspace{1pt}3}= -\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{array} \right| = 1\\[0.7em] \large \Delta_{3\hspace{1pt}1} &\large =&\large \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right| = 1\hspace{1pt},\hspace{15pt} \Delta_{3\hspace{1pt}2}= -\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{array} \right| = -1\\[0.7em] \large \Delta_{3\hspace{1pt}3} &\large =&\large \left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right| = -1 \end{eqnarray}
求める逆行列\(\large{A^{-1}}\) は、
\begin{eqnarray} \large A^{-1}&\large =&\large \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{11} & \Delta_{21} & \Delta_{31} \\ \Delta_{12} & \Delta_{22} & \Delta_{32} \\ \Delta_{13} & \Delta_{23} &\Delta_{33} \\ \end{array} \right) \\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{-1} \left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ -5 & 3 &-1 \\ -2 & 1 &-1 \\ \end{array} \right)\\[0.7em] &\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} -3 & 2 & -1 \\ 5 & -3 &1 \\ 2 & -1 &1 \\ \end{array} \right)\\ \end{eqnarray}