行列の英語表現

本項では以下の内容を解説しています。

• ・行列の英語表現
• ・様々な形式(正方行列や単位行列など)の英語表現
• ・関連用語の一覧

【1】行列の英語表現

本項では、線形代数の行列の英語表現について解説します。

行列とは、縦と横に数字を並べて配置したものをいいます。
行列は英語でmatrixといいます。複数形の場合は、matricesといいます。

行列の横の数字の並びを行、英語ではrowといいます。
また、行列の縦の数字の並びを列、英語ではcolumnといいます。

以下に1行3列、2行3列、2行2列の場合の行列の例を示します。

行列が2つの行と3つの列で記述されているとき、2×3行列や2行3列の行列などと言います。
一方、英語では、2×3 matrixと記述し、two by three matrixと言い表します。

行列の成分の表現

行列の各成分は、行と列を意味する2つの下付き文字を付けて表します。

例えば、第1行、第2列の成分は、\(\large{a_{1,2}}\)と表記します。
また、\(\large{a_{1,2}}\)を英語では、a one (comma) twoと言い表します。

以下に各成分を下付き文字で表したm行n列の行列を示します。

$$\large{ \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n}\\ \end{array} \right)}$$

ここで、『その行列の第1行、第2列の成分は5です。』を英語では"The entry in the first row and the second column of the matrix is 5."と言い表します。
entryは行列の成分を意味する用語です。

英語で行列の数字の並びを1つづつ言い表すときは、第1行の第1列から最終列までを読んだ後、第2行を読むという順番で言い表します。
$$\large{A = \left(\begin{array}{ccc} a & b &c\\ d & e & f \end{array} \right)}$$ 上記の行列の各成分を読むときは、The matrix A is equal to a, b, c, d, e (and) f.といいます。
行列の成分を伝えるときは、The matrix A is a 2 by 3 matrix.など行と列の数も同時に説明すると分かりやすいです

【2】様々な形式の行列の英語表現

行と列の数や成分によって、特別な言い方をする行列があります。本章では、特別な言い方のある行列を紹介します。

【2-1】正方行列と矩形行列

行と列の個数の等しい行列を正方行列といいます。正方行列を英語では、square matrixと言います。

特に行と列の個数がnで等しい時、n次正方行列といいます。英語では、a square matrix of order nと言い表します。

一方、行と列の数が一致しない行列を矩形行列といいます。矩形行列を英語では、rectangular matrixと言います。

【2-2】行ベクトルと列ベクトル

行列の行の数が1のとき、行ベクトルといいます。英語では、row vectorと言います。

一方、行列の列の数が1のとき、列ベクトルといいます。英語では、column vectorと言います。

【2-3】単位行列と零行列

正方行列のうち、対角の成分が1、その他の成分が0となる行列を単位行列と言います。単位行列は英語でidentity matrixといいます。
単位行列は\(\large{E}\)もしくは、\(\large{I}\)の記号を使って表されます。

n次正方行列の単位行列\(\large{E}\)は、同じn次正方行列の行列\(\large{A}\)と以下の関係にあります。 $$\large{AE = EA = A}$$

単位行列\(\large{E}\)を成分ごとに書き表すと、以下のようになります。 $$\large{ E_n = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right)} $$

また、全ての成分が0である行列を零行列いいます。零行列は英語でzero matrixといいます。

【2-4】上三角行列と下三角行列

正方行列において、対角の成分より左下の成分がすべて0であるような行列を上三角行列と言います。上三角行列は英語でupper triangular matrixといいます。

一方、正方行列において、対角の成分より右上の成分がすべて0であるような行列を下三角行列と言います。下三角行列は英語でlower triangular matrixといいます。

【2-5】転置行列

行と列の配置を入れ替えた行列を転置行列といいます。また、行と列を入れ替える操作を『転置をとる』といいます。
転置は英語でtranspose、転置行列はtransposed matrixといいます。

行列\(\large{A}\)の転置行列は、右上に記号の\(\large{T}\)を使い\(\large{A^T}\)のように表します。

例えば、以下に3行3列の行列における転置行列の例を示します。

$$\large{ \left(\begin{array}{ccc} 1& 2&3\\ 4& 5&6\\ 7& 8&9\\ \end{array} \right)^T = \left(\begin{array}{ccc} 1& 4&7\\ 2& 5&8\\ 3& 6&9\\ \end{array} \right)}$$

転置したときに元の行列と変わらない行列を対称行列といいます。対称行列を英語ではsymmetric matrixといいます。

例えば、以下のような行列は対称行列です。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc} 1& 2&3\\ 2& 1&4\\ 3& 4&1\\ \end{array} \right) }$$

また、転置したときに元の行列の-1倍となる行列を、交代行列といいます。英語では、alternating matrixといいます。

例えば、以下のような行列は交代行列です。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc} 0& 2&3\\ -2& 0&4\\ -3& -4&0\\ \end{array} \right) }$$

【2-6】逆行列と行列式

ある正方行列\(\large{A}\)に対して、\(\large{AX=XA=E}\)が成り立つ正方行列Xが存在するとき、\(\large{X}\)を\(\large{A}\)を逆行列といいます。
逆行列を\(\large{A^{-1}}\)と表記します。逆行列を英語では、inverse matrixといいます。

逆行列は必ず存在するわけではなく、逆行列の存在する行列を正則行列(invertible matrix)といいます。

例えば、2次正方行列の逆行列は以下の計算により求められることが知られてます。
行列\(\large{A}\)が以下の成分から構成されているとします。 $$\large{A= \left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right)}$$ この行列\(\large{A}\)において、\(\large{det (A)=ad-bc}\)とおきます。\(\large{det (A) \neq 0}\)であるとき、逆行列\(\large{A^{-1}}\)は以下のように求められます。 $$\large{A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a \end{array} \right)}$$

ここで、\(\large{det (A)}\)を行列\(\large{A}\)の行列式といいます。(\(\large{det (A)}\)は\(\large{|A|}\)とも表記されます。)英語では、determinantといいます。

【3】行列の英語用語のまとめ

行列や成分の表記を表す英語表現の用語の一覧を示します。

様々な形式の行列を表す英語表現の一覧を示します。

その他、行列に関する英語表現の一覧を示します。

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