行列の足し算を行う場合は、各成分ごとに計算を行います。
例えば、\(\large{2\hspace{1pt}}\)行\(\large{2\hspace{1pt}}\)列の行列の和は、以下のように計算されます。
また、行列の引き算も同様に各成分ごとに計算をします。
行列の足し算・引き算は、行列の 行の数 と 列の数 が一致している必要があります。
例えば、以下の 行列\(\large{A}\) と 行列\(\large{B}\) はどちらも\(\large{2\hspace{1pt}}\)行\(\large{2\hspace{1pt}}\)列の行列であることから、和 \(\large{A+B}\) や 差 \(\large{A-B}\) を計算することができます。 $$\large{A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right)\hspace{3pt}, \hspace{10pt}B= \left(\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{array} \right)}$$
一方、以下の 行列\(\large{C}\) と 行列\(\large{D}\) は 行の数 が一致しないことから、和や差を計算することができません。 $$\large{C = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right)\hspace{3pt}, \hspace{10pt}D= \left(\begin{array}{cc} \hspace{2pt}5 & 6 \\ \hspace{2pt}7 & 8 \\ \hspace{2pt}9 & 10 \\ \end{array} \right)}$$
行列の和 \(\large{A+B}\) は以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large A+B&\large =&\large \left(\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -8 & 9 \\ \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{cc} 0 & 6 \\ 5 & -2 \\ \end{array} \right)\\[1em] \large &\large =&\large \left(\begin{array}{cc} \hspace{6pt}4+0 & 1+6 \\ -8+5 & 9-2 \\ \end{array} \right)\\[1em] \large &\large =&\large \left(\begin{array}{cc} 4 & 7 \\ -3 & 7 \\ \end{array} \right)\\[1em] \end{eqnarray}
また、行列の差 \(\large{A-B}\) は以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large A-B&\large =&\large \left(\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -8 & 9 \\ \end{array} \right)- \left(\begin{array}{cc} 0 & 6 \\ 5 & -2 \\ \end{array} \right)\\[1em] \large &\large =&\large \left(\begin{array}{cc} \hspace{6pt}4-0 & 1-6 \\ -8-5 & 9-(-2) \\ \end{array} \right)\\[1em] \large &\large =&\large \left(\begin{array}{cc} 4 & -5 \\ -13 & 11 \\ \end{array} \right)\\[1em] \end{eqnarray}
行の数 と 列の数 の等しい行列の和と差には、以下の交換法則と結合法則が成り立ちます。
\(\displaystyle\large{\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) }\) や \(\displaystyle\large{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) }\) など各成分が \(\large{0}\) であるような行列を 零行列 といいます。零行列は、記号\(\large{O\hspace{1pt}}\)で表します。
零行列\(\large{O}\) に関しては、以下の関係が成り立ちます。
行列\(\large{A}\) をある数 \(\large{k}\) で定数倍するとき、行列の各成分を \(\large{k\hspace{2pt}}\)倍します。
例えば、\(\large{2\hspace{1pt}}\)行\(\large{2\hspace{1pt}}\)列の行列の定数倍は、以下のように計算されます。
行列の定数倍に関しては、以下の計算が成り立ちます。
ただし、行列\(\large{A}\) と 行列\(\large{B}\) は 行の数 と 列の数 の等しい行列であるとします。
行列\(\large{A}\) に\(\large{3\hspace{1pt}}\)をかけた \(\large{3A}\) は以下のように計算されます。
\begin{eqnarray} \large 3A&\large =&\large 3\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 6\\ 7 & 3 & 1\\ \end{array} \right) \\[1em] \large &\large =&\large\left(\begin{array}{ccc} 6& -3 & 18\\ 21 & 9 & 3\\ \end{array} \right) \\ \end{eqnarray}問題1 は、行列の和や差を計算する問題です。
(解答と解説 : 問題1)
問題2,3 は、等式を満たす行列を求める問題です。
(解答と解説 : 問題2 問題3 )
【解答と解説】
\(\large{(1)\hspace{3pt}2A+3B}\) は以下のように計算されます。
\begin{eqnarray}
\large
2A+3B&\large =&\large
2 \left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & -2 \\
\end{array}
\right) + 3\left(\begin{array}{cc}
1 & -3 \\
-1 & 5 \\
\end{array}
\right) \\[1em]
&\large =&\large
\left(\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
0 & -4 \\
\end{array}
\right) + \left(\begin{array}{cc}
3 & -9 \\
-3 & 15 \\
\end{array}
\right) \\[1em]
&\large =&\large
\left(\begin{array}{cc}
7 & -7 \\
-3 & 11 \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
\(\large{(2)\hspace{3pt}2(A -B)+3B}\) は以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large 2(A -B)+3B&\large =&\large 2A - 2B + 3B\\[1em] &\large =&\large 2A + B\\[1em] &\large =&\large 2 \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ \end{array} \right) + \left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -1 & 5 \\ \end{array} \right) \\[1em] &\large =&\large \left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 0 & -4 \\ \end{array} \right) + \left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -1 & 5 \\ \end{array} \right) \\[1em] &\large =&\large \left(\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}
【解答と解説】
行列\(\large{X}\) は以下のように求められます。
\begin{eqnarray}
\large
2A+3B &\large =&\large 2X -5B\\[1em]
\large 2X &\large =&\large 2A + 8B\\[1em]
\large X &\large =&\large A + 4B\\[1em]
&\large =&\large
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 2 \\
\end{array}
\right) + 4\left(\begin{array}{cc}
-1 & 4 \\
-3 & 0 \\
\end{array}
\right) \\[1em]
&\large =&\large
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 2 \\
\end{array}
\right) + \left(\begin{array}{cc}
-4 & 16 \\
-12 & 0 \\
\end{array}
\right) \\[1em]
&\large =&\large
\left(\begin{array}{cc}
-3 & 16 \\
-10 & 2 \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
したがって、\(\displaystyle\large{X = \left(\begin{array}{cc}
-3 & 16 \\
-10 & 2 \\
\end{array}
\right)}\) と求められます。
【解答と解説】
以下の等式をそれぞれ\(\large{\hspace{1pt}(1)\hspace{1pt},\hspace{2pt}(2)\hspace{1pt}}\)とします。
$$\large{X + Y = \left(\begin{array}{cc}
1 & -3 \\
2 & 5 \\
\end{array}
\right)\hspace{10pt}\cdots(1)}$$
$$\large{3X - 2Y = \left(\begin{array}{cc}
8 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)\hspace{10pt}\cdots(2)}$$
\(\large{(1)\times 2 + (2)}\) を計算すると以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\large
5 X&\large =&\large 2\left(\begin{array}{cc}
1 & -3 \\
2 & 5 \\
\end{array}
\right) +
\left(\begin{array}{cc}
8 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right) \\[1em]
\large
&\large =&\large \left(\begin{array}{cc}
2 & -6 \\
4 & 10 \\
\end{array}
\right) +
\left(\begin{array}{cc}
8 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\\[1em]
&\large =&\large \left(\begin{array}{cc}
10 & -5 \\
5 & 10 \\
\end{array}
\right)
\\[1em]
\end{eqnarray}
したがって、
\begin{eqnarray}
\large
X &\large =&\large \frac{1}{5} \left(\begin{array}{cc}
10 & -5 \\
5 & 10 \\
\end{array}
\right)\\[1em]
&\large =&\large\left(\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 2 \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
また、等式(1)から \begin{eqnarray} \large Y &\large =&\large\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & 5 \\ \end{array} \right) - X\\[1em] &\large =&\large\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & 5 \\ \end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)\\[1em] &\large =&\large\left(\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} と求められます。
したがって、等式\(\large{\hspace{1pt}(1)\hspace{1pt},\hspace{2pt}(2)\hspace{1pt}}\)を満たす行列\(\large{X\hspace{1pt},Y\hspace{1pt}}\) は、 $$\large{X = \left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)\hspace{1pt},\hspace{2pt}Y = \left(\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right)}$$ となります。