行列の定義

【1】行列とは

行列とは、以下のような数字や文字を縦・横に並べて配置したものをいいます。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ \end{array} \right) \hspace{10pt} \left(\begin{array}{ccc} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ \end{array} \right)\hspace{10pt} \left(\begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right)}$$

行列の『横の数字の並びを行』,『縦の数字の並びを列』といいます。

例えば、以下の行列は 横の数字の並びが \(\large{2\hspace{1pt}}\)行、縦の数字の並びが \(\large{3\hspace{1pt}}\)列 あることから、\(\large{2\hspace{1pt}}\)行\(\large{3\hspace{1pt}}\)列の行列 もしくは \(\large{2 \times 3}\) 行列 といいます。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ \end{array} \right)}$$ また、以下の行列は 横の数字の並びが \(\large{3\hspace{1pt}}\)行、縦の数字の並びが \(\large{1\hspace{1pt}}\)列 あることから、\(\large{3\hspace{1pt}}\)行\(\large{1\hspace{1pt}}\)列の行列 もしくは \(\large{3 \times 1}\) 行列 といいます。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc} \hspace{2pt}a\hspace{2pt}\\ b\\ c\\ \end{array} \right)}$$

・行列の成分

行列に含まれる一つ一つの数字や文字を成分といいます。
第\(\large{i\hspace{1pt}}\)行、第\(\large{j\hspace{1pt}}\)列の成分を \(\large{(i,j)}\) 成分 と表します。

例えば、以下の行列の \(\large{(1,2\hspace{1pt})}\) 成分は \(\large{2\hspace{2pt}}\)、\(\large{(2,3\hspace{1pt})}\) 成分は \(\large{6}\) となります。 $$\large{A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ \end{array} \right)}$$

また、第\(\large{i\hspace{1pt}}\)行、第\(\large{j\hspace{1pt}}\)列の成分を 下付き文字を使用して \(\large{a_{ij}}\) と書き表すこともあります。
例えば、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列 の成分は \(\large{a_{2,3}}\) と表記します。

\(\large{m\hspace{1pt}}\)行\(\large{n\hspace{1pt}}\)列の行列の各成分を下付き文字で表すと、以下のようになります。

$$\large{A = \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n}\\ \end{array} \right)}$$

下付き文字を使用して、行列を以下のように書くこともあります。 $$\large{A = (a_{\hspace{1pt}i,\hspace{1pt}j\hspace{1pt}}) \hspace{10pt}(1 \leqq i\leqq n\hspace{1pt},\hspace{1pt}1 \leqq j \leqq n)}$$

・例題

例題の行列は、\(\large{3\hspace{1pt}}\)行\(\large{4\hspace{1pt}}\)列の行列です。

\(\large{(1,4\hspace{1pt})}\) 成分は、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行の第\(\large{4\hspace{1pt}}\)列の成分であるため、\(\large{7}\) となります。

また、\(\large{(2,3\hspace{1pt})}\) 成分は、第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行の第\(\large{3\hspace{1pt}}\)列の成分であるため、\(\large{1}\) となります。

【2】正方行列

行列のうち、行と列の大きさの等しい行列を正方行列といいます。

例えば、以下のような行列は正方行列です。 $$\large{A= \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{array} \right)}$$ 上記の行列は、\(\large{2\hspace{1pt}}\)行\(\large{2\hspace{1pt}}\)列の行列であり、このような正方行列を2次の正方行列といいます。

また、以下のような \(\large{n\hspace{1pt}}\)行\(\large{n\hspace{1pt}}\)列の行列の場合は、\(\large{n\hspace{1pt}}\)次の正方行列といいます。

$$\large{A= \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,n}\\ \end{array} \right)}$$

【3】単位行列とクロネッカーのデルタ記号

正方行列のうち、\(\large{1\hspace{1pt}}\)行\(\large{1\hspace{1pt}}\)列、\(\large{2\hspace{1pt}}\)行\(\large{2\hspace{1pt}}\)列・・・\(\large{n\hspace{1pt}}\)行\(\large{n\hspace{1pt}}\)列の行列の成分が \(\large{1}\)、それ以外が \(\large{0}\) であるような行列を単位行列といいます。 $$\large{E = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots &1\\ \end{array} \right)}$$

単位行列は、記号\(\large{E}\) もしくは \(\large{I}\) により表記されます。

・クロネッカーのデルタ記号

クロネッカーのデルタ記号とは、添え字の \(\large{i}\) と \(\large{j}\) が一致するときに \(\large{1}\)、一致しないときに \(\large{0}\) により定義される記号です。 \begin{eqnarray}\Large \delta_{\hspace{1pt}i\hspace{1pt},\hspace{1pt}j\hspace{1pt}}= \begin{cases} 1 & ( i = j ) \\ 0 & (i \neq j ) \end{cases} \end{eqnarray}

このクロネッカーのデルタ記号を用いると、単位行列\(\large{E}\) を簡単に書くことができます。 \begin{eqnarray} \large E&\large =&\large \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots &1\\ \end{array} \right)\\[1em] \large &\large =&\large \left(\begin{array}{cccc} \delta_{1,1} & \delta_{1,2} & \ldots & \delta_{1,n}\\ \delta_{2,1} & \delta_{2,2} & \ldots & \delta_{2,n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \delta_{n,1} & \delta_{n,2} & \ldots &\delta_{n,n}\\ \end{array} \right)\\[1em] &\large =&\large (\hspace{1pt}\delta_{i,j}\hspace{1pt})\hspace{10pt}(1 \leqq i\leqq n\hspace{1pt},\hspace{1pt}1 \leqq j \leqq n) \large \end{eqnarray}

【4】行ベクトルと列ベクトル

また、以下のような \(\large{1\hspace{1pt}}\)行\(\large{n\hspace{1pt}}\)列の行列を特別に\(\large{n\hspace{1pt}}\)次の行ベクトルといいます。 $$\large{ \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\ \end{array} \right)}$$

例えば、以下のような行列は\(\large{3\hspace{1pt}}\)次の行ベクトルといいます。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right)}$$

また、以下のような \(\large{m\hspace{1pt}}\)行\(\large{1\hspace{1pt}}\)列の行列を特別に\(\large{m\hspace{1pt}}\)次の列ベクトルといいます。 $$\large{ \left(\begin{array}{c} a_{1,1} \\ a_{2,1}\\ \vdots\\ a_{m,1} \\ \end{array} \right)}$$

例えば、以下のような行列は\(\large{3\hspace{1pt}}\)次の列ベクトルといいます。 $$\large{ \left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ \end{array} \right)}$$

【5】問題と解き方

問題1,2 は、行列の各成分を書き並べる問題です。
(解答と解説 : 問題1 問題2)

問題3,4 は、行列の成分をクロネッカーのデルタ記号で表記する問題です。
(解答と解説 : 問題3 問題4)

問題.1 行列の成分

【解答と解説】
第\(\large{i\hspace{2pt}}\)行・第\(\large{j\hspace{2pt}}\)列における行列の成分が \(\large{a_{\hspace{1pt}i\hspace{1pt},\hspace{1pt}j\hspace{1pt}}= i+j}\) となります。
また、\(\large{i}\) と \(\large{j}\) は \(\large{1}\) から \(\large{3}\) まで変化するため、\(\large{3\hspace{1pt}}\)行\(\large{3\hspace{1pt}}\)列の行列となります。

したがって、問題の行列は以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large A&\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} 1+1 & 1+2 & 1+3 \\ 2+1 & 2+2 & 2+3\\ 3+1 & 3+2 & 3+3 \\ \end{array} \right)\\[1em] \large &\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5\\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array} \right)\\[1em] \large \end{eqnarray}

問題.2 行列の成分とクロネッカーのデルタ

【解答と解説】
第\(\large{i\hspace{2pt}}\)行・第\(\large{j\hspace{2pt}}\)列における行列の成分が \(\large{a_{\hspace{1pt}i\hspace{1pt},\hspace{1pt}j\hspace{1pt}}= \delta_{i+1\hspace{1pt},\hspace{1pt}j}}\) となります。
また、\(\large{i}\) と \(\large{j}\) は \(\large{1}\) から \(\large{4}\) まで変化するため、\(\large{4\hspace{1pt}}\)行\(\large{4\hspace{1pt}}\)列の行列となります。

ここで、クロネッカーのデルタ記号とは、添え字の \(\large{i}\) と \(\large{j}\) が一致するときに \(\large{1}\)、一致しないときに \(\large{0}\) により定義される記号です。 \begin{eqnarray}\Large \delta_{i,j}= \begin{cases} 1 & ( i = j ) \\ 0 & (i \neq j ) \end{cases} \end{eqnarray}

クロネッカーのデルタ記号の定義から、問題の行列の成分を書き並べると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large A&\large =&\large \left(\begin{array}{cccc} \delta_{2,1} & \delta_{2,2} & \delta_{2,3} & \delta_{2,4}\\ \delta_{3,1} & \delta_{3,2} & \delta_{3,3} & \delta_{3,4}\\ \delta_{4,1} & \delta_{4,2} & \delta_{4,3} & \delta_{4,4}\\ \delta_{5,1} & \delta_{5,2} & \delta_{5,3} & \delta_{5,4}\\ \end{array} \right)\\[1em] &\large =&\large \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 0& 1\\ 0 &0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)\\[1em] \large \end{eqnarray}

問題.3 行列の成分とクロネッカーのデルタ

【解答と解説】

クロネッカーのデルタ記号とは、添え字の \(\large{i}\) と \(\large{j}\) が一致するときに \(\large{1}\)、一致しないときに \(\large{0}\) により定義される記号です。 \begin{eqnarray}\Large \delta_{i,j}= \begin{cases} 1 & ( i = j ) \\ 0 & (i \neq j ) \end{cases} \end{eqnarray}

問題の行列の成分を変形すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large A&\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -3\\ \end{array} \right)\\[1em] &\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} -1\times 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 \times 2 & 0\\ 0 & 0 & -1 \times 3\\ \end{array} \right)\\[1em] &\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} -1\cdot1\cdot\delta_{\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1} & -1\cdot1\cdot\delta_{\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2} & -1\cdot1\cdot\delta_{\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}3}\\ -1\cdot2\cdot\delta_{\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1} & -1\cdot2\cdot\delta_{\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2} & -1\cdot2\cdot\delta_{\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}3}\\ -1\cdot3\cdot\delta_{\hspace{1pt}3\hspace{1pt},\hspace{1pt}1}&-1\cdot3\cdot\delta_{\hspace{1pt}3\hspace{1pt},\hspace{1pt}2} & -1\cdot3\cdot\delta_{\hspace{1pt}3\hspace{1pt},\hspace{1pt}3}\\ \end{array} \right)\\[1em] \end{eqnarray} したがって、第\(\large{i\hspace{1pt}}\)行・第\(\large{j\hspace{1pt}}\)列における成分は \(\large{- i \cdot \delta_{\hspace{1pt}i\hspace{1pt},\hspace{1pt}j}}\) となるので、 $$\large{A = (- i \cdot \delta_{\hspace{1pt}i\hspace{1pt},\hspace{1pt}j})\hspace{10pt}(1 \leqq i\leqq 3\hspace{1pt},\hspace{1pt}1 \leqq j \leqq 3)}$$ となります。

問題.4 行列の成分とクロネッカーのデルタ

【解答と解説】

クロネッカーのデルタ記号とは、添え字の \(\large{i}\) と \(\large{j}\) が一致するときに \(\large{1}\)、一致しないときに \(\large{0}\) により定義される記号です。 \begin{eqnarray}\Large \delta_{i,j}= \begin{cases} 1 & ( i = j ) \\ 0 & (i \neq j ) \end{cases} \end{eqnarray}

問題の行列は、『対角の成分が \(\large{0}\) である』すなわち 『各成分に (\(\large{1-\delta_{\hspace{1pt}i,\hspace{1pt}j\hspace{1pt}}}\)) を含む』という点から考えて、以下のように変形されます。 \begin{eqnarray} \large A&\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 3\\ 1 & 2 & 0\\ \end{array} \right)\\[1em] &\large =&\large \left(\begin{array}{ccc} 1\times(1-\delta_{1,1}) & 2\times(1-\delta_{1,2}) & 3\times(1-\delta_{1,3})\\ 1\times(1-\delta_{2,1}) & 2\times(1-\delta_{2,2}) & 3\times(1-\delta_{2,3})\\ 1\times(1-\delta_{3,1}) & 2\times(1-\delta_{3,2}) & 3\times(1-\delta_{3,3})\\ \end{array} \right)\\[1em] \end{eqnarray} したがって、第\(\large{i\hspace{1pt}}\)行・第\(\large{j\hspace{1pt}}\)列における成分は \(\large{j \times(1-\delta_{i,j})}\) となるので、 $$\large{A = (\hspace{1pt}j \cdot(1-\delta_{i,j})\hspace{1pt})\hspace{10pt}(1 \leqq i\leqq 3\hspace{1pt},\hspace{1pt}1 \leqq j \leqq 3)}$$ となります。

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