掃き出し法 とは 拡大係数行列 を利用して連立一次方程式を解く手法です。
例えば、以下のような連立一次方程式を解くとします。
\begin{eqnarray}\large
\left\{
\begin{array}{l}
\large \hspace{13pt} x + 2y = 2 \\
\large -2x + 3y = 10
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
この連立一次方程式を行列で表すと、行列の積の計算から以下のようになります。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 3\\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 10 \\ \end{array} \right) }$$
上式の\(\large{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 3\\ \end{array} \right)}\) を 係数行列, \(\large{ \left(\begin{array}{c} x \\ y\\ \end{array} \right)}\) を 変数ベクトル, \(\large{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 10 \\ \end{array} \right)}\) を 定数項ベクトル といいます。
ここで、変数ベクトル を省略し、以下のような形式で表記される行列を拡大係数行列といいます。
$$\large{ \left(\begin{array}{cc|c}
1 & 2 & 2\\
-2 & 3 & 10\\
\end{array}
\right)}$$
通常の連立一次方程式 と 拡大係数行列による表記 を比較すると、以下のようになります。
| 連立一次方程式 | 拡大係数行列 |
|---|---|
| \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large \hspace{13pt} x + 2y = 2 \\ \large -2x + 3y = 10 \end{array} \right. \end{eqnarray} | \(\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2\\ -2 & 3 & 10\\ \end{array} \right)}\) |
掃き出し法により連立一次方程式を解くには、以下の①～③の手順から、拡大係数行列の左側の対角成分が \(\large{1}\)、他の成分が \(\large{0}\) となるように変形します。
式全体を定数倍し、足し引きすることで解を導く方法を加減法といいます。
掃き出し法で解を求める手順は、加減法による演算と同じです。
本章では、加減法と掃き出し法の式変形を比較して解説します。
| 加減法 | 掃き出し法 |
|---|---|
| \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large \hspace{13pt} x + 2y = 2 \hspace{8pt}\cdots (1)\\[0.5em] \large -2x + 3y = 10 \hspace{3pt}\cdots (2) \end{array} \right. \end{eqnarray} | \(\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2\\ -2 & 3 & 10\\ \end{array} \right)}\) |
まず、加減法では \(\large{(1)}\)式を \(\large{2\hspace{2pt}}\)倍して \(\large{(2)}\)式に足します。(比較のため、通常は空欄とする箇所を \(\large{0\hspace{1pt}x}\) としています。)
掃き出し法では、『第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行を \(\large{2\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行に足す』操作をします。
| 加減法 | 掃き出し法 |
|---|---|
| \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large \hspace{5pt} x + 2y = 2\hspace{6pt}\cdots (1)\\[0.5em] \large 0x + 7y = 14\hspace{2pt}\cdots (2)' \end{array} \right. \end{eqnarray} | \(\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2\\ 0 & 7 & 14\\ \end{array} \right)}\) |
次に、加減法では \(\large{(2)'\hspace{1pt}}\)式 の両辺を \(\large{7}\) で割ります。
掃き出し法では、『第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\large{7\hspace{4pt}}\)で割る』操作をします。
| 加減法 | 掃き出し法 |
|---|---|
| \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large \hspace{5pt} x + 2y = 2\hspace{4pt}\cdots (1)\\[0.5em] \large 0x + \hspace{4pt}y = 2\hspace{4pt}\cdots (2)'' \end{array} \right. \end{eqnarray} | \(\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right)}\) |
次に、加減法では\(\large{(2)''\hspace{1pt}}\)を \(\large{-2\hspace{2pt}}\)倍して \(\large{(1)}\)式に足します。
掃き出し法では、『第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\large{-2\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行に足す』操作をします。
| 加減法 | 掃き出し法 |
|---|---|
| \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large \hspace{5pt} x + 0y = -2\hspace{2pt}\cdots (1)'\\[0.5em] \large 0x + \hspace{4pt}y = 2\hspace{8pt}\cdots (2)'' \end{array} \right. \end{eqnarray} | \(\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right)}\) |
以上から、 \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large x = -2\\[0.5em] \large y=2 \end{array} \right. \end{eqnarray} と求めることができます。
先述の解説では、未知数が\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)個の連立一次方程式を掃き出し法で解きましたが、以下のような\(\large{\hspace{2pt}n\hspace{1pt}}\)元連立一次方程式も同様に解くことができます。
\begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large \hspace{4pt} a_{11}\hspace{2pt} x_1 + a_{12}\hspace{2pt} x_2 + \cdots + a_{1n} \hspace{2pt}x_n = \hspace{2pt}b_1 \\ \large \hspace{4pt} a_{21} \hspace{2pt} x_1 + a_{22} \hspace{2pt} x_2 + \cdots + a_{2n} \hspace{2pt} x_n = \hspace{2pt}b_2 \\ \hspace{15pt}\vdots \hspace{32pt}\vdots \hspace{55pt}\vdots \hspace{15pt} = \hspace{4pt}\vdots \\ \large \hspace{4pt} a_{n1} \hspace{2pt} x_1 + a_{n2} \hspace{2pt} x_2 + \cdots + a_{nn} \hspace{2pt} x_n = \hspace{2pt}b_n \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}
上記の\(\large{\hspace{2pt}n\hspace{1pt}}\)元連立一次方程式を 拡大係数行列 で表すと以下のようになります。
$$\large{\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}& b_n\\ \end{array} \right) }$$ このとき、上記の拡大係数行列の左側の対角成分が \(\large{1}\)、それ以外の成分が \(\large{0}\) と変形されるとき、解 \(\large{(x_1\hspace{1pt},\hspace{2pt}x_2\hspace{1pt}, \hspace{2pt}\cdots \hspace{2pt},\hspace{1pt}x_n)}\) を求められます。 $$\large{\left(\begin{array}{cccc|c} 1 &0 & \ldots & 0 & x_1\\ 0 & 1 & \ldots & 0 & x_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0&0 & \ldots &1& x_n\\ \end{array} \right) }$$
未知数が\(\large{\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)個の連立一次方程式では 掃き出し法のメリットは感じられませんが、\(\large{\hspace{2pt}4\hspace{1pt}}\)元連立方程式、\(\large{\hspace{2pt}5\hspace{1pt}}\)元連立方程式・・・と未知数の数が多くなると、加減法では計算が煩雑になってきます。
掃き出し法は、未知数に文字を使用しない点 や 計算を機械的に行える点 から 比較的計算がしやすくなります。
【解答と解説】: 問題(1)
【解答と解説】: 問題(2)
【解答と解説】
問題の連立方程式を拡大係数行列で表すと、以下のようになります。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1\\ 1 & -3 & 4\\ \end{array} \right)}$$
以下の①～③の手順から、拡大係数行列の左側の対角成分が \(\large{1}\) となるように変形して解きます。
まず、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行を \(\large{3\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1\\ 7 & 0 & 7\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\large{7\hspace{4pt}}\)で割ります。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\large{2\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行から引きます。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right)}$$ 最後に、第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行 と 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を入れ替えます。 $$\large{ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ \end{array} \right)}$$ 以上から、 \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large x = 1\\[0.5em] \large y=-1 \end{array} \right. \end{eqnarray} と求めることができます。
【解答と解説】
問題の連立方程式を拡大係数行列で表すと、以下のようになります。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2\\ 3 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1 & 9\\ \end{array} \right)}$$
以下の①～③の手順から、拡大係数行列の左側の対角成分が \(\large{1}\) となるように変形して解きます。
まず、第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行を 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 1 & 11\\ 3 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1 & 9\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行を \(\large{-1\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 1 & 11\\ 0 & 2 & 0 & -10\\ 2 & 1 & -1 & 9\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\large{2\hspace{4pt}}\)で割ります。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 1 & 11\\ 0 & 1 & 0 & -5\\ 2 & 1 & -1 & 9\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{2\hspace{1pt}}\)行を \(\large{-1\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 1 & 11\\ 0 & 1 & 0 & -5\\ 2 & 0 & -1 & 14\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行を 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 0 & 0 & 25\\ 0 & 1 & 0 & -5\\ 2 & 0 & -1 & 14\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行を \(\large{5\hspace{1pt}}\)で割ります。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 & -5\\ 2 & 0 & -1 & 14\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{1\hspace{1pt}}\)行を \(\large{-2\hspace{1pt}}\)倍 して 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行に足します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 & -5\\ 0 & 0 & -1 & 4\\ \end{array} \right)}$$ 第\(\large{3\hspace{1pt}}\)行を \(\large{-1\hspace{1pt}}\)倍します。 $$\large{ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & -4\\ \end{array} \right)}$$ 以上から、 \begin{eqnarray}\large \left\{ \begin{array}{l} \large x = 5\\[0.5em] \large y=-5\\[0.5em] \large z=-4 \end{array} \right. \end{eqnarray} と求めることができます。