行列式の定義

【1】行列式の定義

行列式は、\(\large{n\hspace{1pt}}\)次の正方行列に定義されるスカラー量です。
行列\(\large{A}\) の行列式は \(\large{|A|}\)、\(\large{\mathrm{det\hspace{2pt}A}}\) などと表します。

本章では、行列式の定義に表れる 置換 や 互換 といった用語について解説します。(行列式の定義の計算を理解することが目的であるため、厳密な解説ではなく、概要のみを解説します。)

次の章以降で、\(\large{2\times2\hspace{1pt}}\)行列 と \(\large{3\times3\hspace{1pt}}\)行列 の行列式の具体的な式を求めます。

・行列式の定義

行列式は、以下のように定義されます。

・置換

行列式の定義の式中にある \(\large{\sigma}\) とは、置換を表す記号です。
置換とは、\(\large{n\hspace{1pt}}\)個の文字の並び \(\large{\{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\cdots,\hspace{2pt}n\hspace{1pt}\}}\) を並び変える操作のことをいいます。

例えば、\(\large{3\hspace{1pt}}\)個の文字の置換、すなわち 文字の並び \(\large{\{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt}\}}\) を並び変える操作について考えます。

\(\large{3\hspace{1pt}}\)個の文字 \(\large{\{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt}\}}\) の置換は
(\(\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt}}\)), (\(\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)), (\(\large{2\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt}}\)), (\(\large{2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt}}\)), (\(\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)), (\(\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt}}\))
の \(\large{6\hspace{1pt}}\)通りが存在します。

ここで、上記の\(\large{3\hspace{1pt}}\)文字の置換は以下のように表記します。 $$\large\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right) \hspace{1pt},\hspace{3pt} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\\ \end{array} \right) \hspace{1pt},\hspace{3pt} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{array} \right) \hspace{1pt},$$ $$\large \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 2& 3 & 1\\ \end{array} \right) \hspace{1pt},\hspace{3pt} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\\ \end{array} \right) \hspace{1pt},\hspace{3pt} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\\ \end{array} \right)\hspace{2pt}$$

\(\displaystyle\large{\left(\begin{array}{cccc} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3}\\ \color{blue}{1} & \color{blue}{3} & \color{blue}{2}\\ \end{array} \right)}\) は、 (\(\large{1\hspace{6pt}2\hspace{6pt}3\hspace{1pt}}\)) を (\(\large{1\hspace{6pt}3\hspace{6pt}2\hspace{1pt}}\)) に並び替えることを意味します。
すなわち、『上段の (\(\large{\color{red}{1}\hspace{6pt}\color{red}{2}\hspace{6pt}\color{red}{3}\hspace{1pt}}\)) は並び変える前』、『下段の (\(\large{\color{blue}{1}\hspace{6pt}\color{blue}{3}\hspace{6pt}\color{blue}{2}\hspace{1pt}}\)) は並び替えた後』の文字の並びを表しています。

また、\(\displaystyle\large{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right)}\) は、 (\(\large{1\hspace{6pt}2\hspace{6pt}3\hspace{1pt}}\)) を (\(\large{1\hspace{6pt}2\hspace{6pt}3\hspace{1pt}}\)) に並び替えることを意味します。
これは文字を並び替えない操作を表しており、恒等置換といいます。

説明のため、上記の置換を以下のようにおきます。

このとき、\(\large{\sigma_2(\color{red}{1}\color{black}{})}\) は 置換\(\large{\sigma_2}\) で \(\large{\color{red}{1}\color{black}{}}\) がどの文字に変換されるかを表します。すなわち、 $$\large{\sigma_2(\color{red}{1}\color{black}{}) = \color{blue}{1}}$$ となります。

同様に、 $$\large{\sigma_2(\color{red}{2}\color{black}{}) = \color{blue}{3}\color{black}{}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\sigma_2(\color{red}{3}\color{black}{}) = \color{blue}{2}\color{black}{}}$$ となります。

・互換

文字の並び \(\large{\{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\cdots,\hspace{2pt}n\hspace{1pt}\}}\) を 特定の \(\large{2\hspace{1pt}}\)つの文字だけを交換し、その他の \(\large{(n-2)}\) 文字を交換しないような置換を互換といいます。

例えば、置換 \(\large{ \sigma_2 = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 &3\\ 1 & 3 & 2\\ \end{array} \right)}\) は、\(\large{2}\) と \(\large{3}\) を交換する置換です。一方、\(\large{1}\) は交換されません。 したがって、置換\(\large{\hspace{2pt}\sigma_2}\) は互換となります。

置換\(\large{\hspace{2pt}\sigma_2}\) は \(\large{2}\) と \(\large{3}\) を交換する互換であり、\(\large{1}\) を省略して \(\large{\sigma_2 = (\hspace{1pt}2\hspace{6pt}3\hspace{1pt})}\) と書くことができます。

また、置換 \(\large{ \sigma_4 = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array} \right)}\) は、\(\large{3\hspace{1pt}}\)文字をそれぞれ別の文字に変換するため、互換ではありません。

\(\large{\sigma_4}\) は 『\(\large{1}\) と \(\large{2}\) を交換』・『\(\large{1}\) と \(\large{3}\) を交換』の順で互換の操作をする置換となります。
\(\large{\sigma_4}\) のように、置換が複数の互換からなるとき、以下のように互換をかけあわせた形式で表され、これを互換の積といいます。 $$\large{\sigma_4 = (\hspace{1pt}1\hspace{6pt}3\hspace{1pt})(\hspace{1pt}1\hspace{6pt}2\hspace{1pt})}$$

互換の積は、右側の互換から順に、置換の下段の文字を交換することに対応しています。

・置換の符号

置換は、いくつかの互換の積で表されますが、その表し方は一通りではありません。
しかし、置換を互換の積で表したときに 互換の数が偶数か奇数かは、置換ごとに決まっています。

ここで、『互換の数が偶数である置換を 偶置換』、『奇数である置換を 奇置換』といいます。

また、\(\large{\mathrm{sgn} (\sigma)}\) は『置換\(\large{\sigma}\) が偶置換であるときに \(\large{+1\hspace{1pt}}\)』、『奇置換であるときに \(\large{-1\hspace{1pt}}\)』 と定義され、これを置換の符号といいます。

置換の符号を式で表すと、以下のようになります。

・置換の符号の例(1)

例えば、置換 \(\large{ \sigma_2 = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 &3\\ 1 & 3 & 2\\ \end{array} \right)}\) を互換の積で表すと \(\large{\sigma_2 = (\hspace{1pt}2\hspace{6pt}3\hspace{1pt})}\) となります。

したがって、互換の数が \(\large{1\hspace{1pt}}\)個であり、置換\(\large{\sigma_2}\) は奇置換となるため $$\large{\mathrm{sgn} (\sigma_2) = -1}$$ となります。

・置換の符号の例(2)

また、置換 \(\large{ \sigma_4 = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array} \right)}\) を互換の積で表すと $$\large{\sigma_4 = (\hspace{1pt}1\hspace{6pt}3\hspace{1pt})(\hspace{1pt}1\hspace{6pt}2\hspace{1pt})}$$ となります。

したがって、互換の数が \(\large{2\hspace{1pt}}\)個であり、置換\(\large{\sigma_4}\) は偶置換となるため $$\large{\mathrm{sgn} (\sigma_4) = +1}$$ となります。

・置換の符号の例(3)

また、\(\large{\sigma_1}\) は \(\displaystyle\large{\sigma_1 = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right)}\) であり、互換の数が \(\large{0}\) すなわち、偶置換であるため $$\large{\mathrm{\mathrm{sgn}} (\sigma_1) = +1}$$ となります。

【2】2×2行列の行列式

本章では、行列式の定義から、行列式の具体的な式を導きます。
まず、\(\large{2 \times 2\hspace{2pt}}\)の行列\(\large{A}\) の行列式\(\large{|A|}\) は以下のように表されます。

行列式の定義から 上記の 2×2行列の行列式\(\large{|A|}\) の具体的な式を求めます。

行列式の定義は $$\large{|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn} \hspace{1pt} (\sigma) \prod_{\hspace{1pt}i=1}^n a_{i \sigma}(i)}$$ と表されます。

記号 \(\displaystyle\large{\prod_{\hspace{1pt}i=1}^n a_i}\) は \(\large{a_1}\) から \(\large{a_n}\) までをかけ合わせる、すなわち $$\large{\prod_{\hspace{1pt}i=1}^n a_i = a_1\hspace{1pt} a_2\hspace{1pt} \cdots\hspace{1pt}a_n}$$ を意味します。

したがって、 $$\large{|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}\hspace{1pt} (\sigma) \cdot a_{\hspace{1pt}1\sigma(1)}a_{\hspace{1pt}2\sigma(2)}\cdots a_{\hspace{1pt}n\sigma(n)}}$$ となります。上式で \(\large{n=2}\) の場合は $$\large{|A| = \sum_{\sigma \in S_2} \mathrm{sgn} \hspace{1pt} (\sigma) \cdot a_{\hspace{1pt}1\sigma(1)}a_{\hspace{1pt}2\sigma(2)}}$$ となります。

ここで、 \(\displaystyle\large{\sum_{\sigma \in S_2}}\) とは \(\large{2\hspace{1pt}}\)個の文字の置換全体の集合を足し合わせることを意味します。

\(\large{2\hspace{1pt}}\)個の文字の置換 は \(\large{\{\hspace{1pt}1\hspace{2pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt}\}}\) を並び替えた \(\large{(1,2)\hspace{2pt},\hspace{2pt}(2,1)}\) の\(\large{2\hspace{1pt}}\)通りが存在します。

すなわち、 $$\large{S_2 = \left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right) \hspace{1pt},\hspace{3pt} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right)\right\}}$$ となります。

\(\large{2\hspace{1pt}}\)文字の置換を以下のような記号で表すとします。 $$\large{\sigma_1 = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right) \hspace{1pt},\hspace{3pt} \sigma_2 = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right)}$$

したがって、行列式の計算を \(\large{\sum\hspace{1pt}}\)記号 を使わずに表すと、

となります。

ここで、先述したように \(\large{\mathrm{\mathrm{sgn} (\sigma) }}\) は置換を互換の積で表したときに、互換の数が偶数か奇数かによって \(\large{+1}\) もしくは \(\large{-1}\) のどちらかの符号をとります。 \begin{eqnarray} \large \mathrm{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1 &\large (\mathrm{偶置換}) \\[0.7em] -1 &\large ( \mathrm{奇置換} ) \end{cases} \end{eqnarray}

\(\large{\sigma_1=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)}\) は 互換の数が\(\large{\hspace{2pt}0\hspace{1pt}}\)個 すなわち、偶置換であるため $$\large{\mathrm{sgn} \hspace{1pt} (\sigma_1) = +1}$$

\(\large{\sigma_2=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right)}\) は 互換の積で表すと \(\large{\sigma_2 = (\hspace{1pt}1\hspace{6pt}2\hspace{1pt})}\) となるため、互換の数が\(\large{1}\)個 すなわち、奇置換であるため $$\large{\mathrm{sgn} \hspace{1pt} (\sigma_2) = -1}$$ となります。

また、行列式の式中の \(\large{\sigma_1(1)}\) は 置換\(\large{\sigma_1}\) で \(\large{1}\) がどの文字に変換されるかを表します。
置換\(\large{\sigma_1}\) は \(\displaystyle\large{\sigma_1 = \left(\begin{array}{cc} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{blue}{1} & \color{blue}{2} \\ \end{array} \right)}\) であるため、 $$\large{\sigma_1(\color{red}{1}\color{black}{}) = \color{blue}{1}\color{black}{}\hspace{1pt},\hspace{3pt}\sigma_1(\color{red}{2}\color{black}{}) = \color{blue}{2}\color{black}{}}$$ となります。

また、置換\(\large{\sigma_2}\) に関しては、\(\displaystyle\large{\sigma_2 = \left(\begin{array}{cccc} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} \\ \end{array} \right)}\) であるため、 $$\large{\sigma_2(\color{red}{1}\color{black}{}) = \color{blue}{2}\color{black}{}\hspace{1pt},\hspace{3pt}\sigma_2(\color{red}{2}\color{black}{}) = \color{blue}{1}\color{black}{}}$$ となります。

したがって、行列式\(\large{|A|}\) は以下のようになります。

・例題

行列\(\large{A}\) の行列式\(\large{|A|}\) は $$\large{|A| = 3 \times (-4) - 2 \times 1 = -14}$$ と求められます。

【3】3×3行列の行列式

次に、以下の \(\large{3 \times 3\hspace{2pt}}\)の行列\(\large{A}\) の行列式を求めます。

行列式の定義 $$\large{|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn} \hspace{1pt} (\sigma) \prod_{\hspace{1pt}i=1}^n a_{i \sigma}(i)}$$ において、\(\large{n=3}\) の場合は $$\large{|A| = \sum_{\sigma \in S_3} \mathrm{sgn} \hspace{1pt} (\sigma) \cdot a_{\hspace{1pt}1\sigma(1)}a_{\hspace{1pt}2\sigma(2)}a_{\hspace{1pt}3\sigma(3)}}$$ となります。

\(\large{3\hspace{1pt}}\)次の置換 \(\large{S_3}\) は \(\large{6\hspace{1pt}}\)個の置換からなり、それぞれの置換に以下のような記号を付けて表すとします。

行列式の式中の \(\displaystyle\large{\sum_{\sigma \in S_3}}\) とは、\(\large{3\hspace{1pt}}\)文字の置換全体の集合を足し合わせることを意味します。

したがって、行列式\(\large{|A|}\) の計算を \(\large{\sum\hspace{1pt}}\)記号 を使わずに表すと以下のようになります。

ここで、先述したように \(\large{\mathrm{\mathrm{sgn} (\sigma) }}\) は 置換\(\large{\sigma}\) を互換の積で表したとき、互換の数が偶数か奇数かによって \(\large{+1}\) もしくは \(\large{-1}\) のどちらかの符号をとります。 \begin{eqnarray} \large \mathrm{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1 &\large (\mathrm{偶置換}) \\[0.7em] -1 &\large ( \mathrm{奇置換} ) \end{cases} \end{eqnarray}

置換 \(\large{\sigma_1}\) から \(\large{\sigma_6}\) までの 符号 \(\large{\mathrm{sgn}(\sigma)}\) を求めると以下のようになります。 $$\large{\mathrm{sgn}\hspace{1pt}(\sigma_1)=+1\hspace{1pt},\hspace{2pt}\mathrm{sgn}\hspace{1pt}(\sigma_2)=-1}$$ $$\large{\mathrm{sgn}\hspace{1pt}(\sigma_3)=-1\hspace{1pt},\hspace{2pt}\mathrm{sgn}\hspace{1pt}(\sigma_4)=+1}$$ $$\large{\mathrm{sgn}\hspace{1pt}(\sigma_5)=+1\hspace{1pt},\hspace{2pt}\mathrm{sgn}\hspace{1pt}(\sigma_6)=-1}$$

また、行列式の式中の \(\large{\sigma_2(1)}\) は 置換\(\large{\sigma_2}\) で \(\large{1}\) がどの文字に変換されるかを表します。
置換\(\large{\hspace{1pt}\sigma_2}\) は \(\displaystyle\large{\sigma_2 = \left(\begin{array}{ccc} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{1} & \color{blue}{3} & \color{blue}{2}\\ \end{array} \right)}\) であるため、 $$\large{\sigma_2(\color{red}{1}\color{black}{}) = \color{blue}{1}\color{black}{}\hspace{1pt},\hspace{3pt}\sigma_2(\color{red}{2}\color{black}{}) = \color{blue}{3}\hspace{1pt}\color{black}{},\hspace{3pt}\sigma_2(\color{red}{3}\color{black}{}) = \color{blue}{2}}$$ などと求められます。

したがって、

と \(\large{3\times 3}\) の行列の行列式を求めることができます。

・例題

行列\(\large{A}\) の行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{33} + a_{12}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{31}+a_{13}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{32}\\[0.7em] \large &\large &\large -a_{11}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{32}-a_{12}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{33} -a_{13}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{31}\\ \end{eqnarray} となります。

したがって、行列式\(\large{|A|}\) は

【4】問題と解き方

【解答と解説】: 問題(1)

【解答と解説】: 問題(2)

【解答と解説】: 問題(3)

問題(1) 3×3行列の行列式

【解答と解説】

行列\(\large{A}\) の行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{33} + a_{12}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{31}+a_{13}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{32}\\[0.7em] \large &\large &\large -a_{11}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{32}-a_{12}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{33} -a_{13}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{31}\\ \end{eqnarray} となります。

したがって、行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large x_1\cdot x_2 \cdot x_3 + 0\cdot 0 \cdot 0+0\cdot 0 \cdot 0\\[0.7em] &\large &\large -x_1 \cdot 0 \cdot 0-0\cdot 0 \cdot x_3 -0\cdot x_2 \cdot 0\\[0.7em] &\large =&\large x_1\hspace{1pt}x_2\hspace{1pt}x_3\\[0.7em] \end{eqnarray}

この問題のように、対角成分のみの行列の行列式は、対角成分をかけあわせた値となります。

問題(2) 3×3行列 の行列式

【解答と解説】

行列\(\large{A}\) の行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{33} + a_{12}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{31}+a_{13}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{32}\\[0.7em] \large &\large &\large -a_{11}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{32}-a_{12}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{33} -a_{13}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{31}\\ \end{eqnarray} となります。

したがって、行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large 0\cdot 0\cdot 0 + a\cdot c \cdot b+b\cdot a \cdot c\\[0.7em] &\large &\large -1 \cdot 0 \cdot c \cdot c-a\cdot a \cdot 0 -b\cdot 0 \cdot b\\[0.7em] &\large =&\large 2\hspace{1pt}a\hspace{1pt}b\hspace{1pt}c\\[0.7em] \end{eqnarray}

問題(3) 3×3行列 の行列式

【解答と解説】

行列\(\large{A}\) の行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large a_{11}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{33} + a_{12}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{31}+a_{13}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{32}\\[0.7em] \large &\large &\large -a_{11}\hspace{1pt}a_{23}\hspace{1pt}a_{32}-a_{12}\hspace{1pt}a_{21}\hspace{1pt}a_{33} -a_{13}\hspace{1pt}a_{22}\hspace{1pt}a_{31}\\ \end{eqnarray} となります。

したがって、行列式\(\large{|A|}\) は \begin{eqnarray} \large |A|&\large =&\large 1\cdot b\cdot c + 2\cdot c \cdot a+4\cdot a \cdot b\\[0.7em] &\large &\large -1 \cdot c \cdot b -2\cdot a \cdot c -4\cdot b \cdot a\\[0.7em] &\large =&\large 0\\[0.7em] \end{eqnarray}

この問題のように、行列に同じ成分の行がある場合、行列式の値は \(\large{0}\) となります。