組み合わせレンズの作図
本項では、2枚の凸レンズの間隔を変化させたときを例として、組み合わせレンズの作図の方法について解説します。
(関連項目として、組み合わせレンズの結像位置や倍率を計算するツールを別のページで作成しています。)
【1】組み合わせレンズの作図
本章では、2枚の凸レンズの間隔を変化させたときの結像について解説します。
2枚のレンズを組み合わせたときの結像関係を作図するときは、まず1枚目のレンズによって作られる像を考えます。 この1枚目のレンズによる像を、中間像といいます。
中間像を2枚目のレンズの物体と考えることで、組み合わせレンズの結像を作図することができます。
図1に、光軸上に並んだ2枚の凸レンズの間隔のみを変化させたときの作図を示します。
\(\large{F_1}\)、\(\large{F'_1}\)は1枚目のレンズの焦点位置です。また、\(\large{F_2}\)、\(\large{F'_2}\)は2枚目のレンズの焦点位置です。(\(\large{F}\)は物体側、\(\large{F'}\)は像側を意味します。)
実線で書かれた矢印は実像、点線で書かれた矢印は虚像を表します。
図1に示されているように、中間像と2枚目のレンズの位置関係によって、結像の様子が変化します。
レンズの間隔を\(\large{d}\)、1枚目のレンズから中間像までの距離を\(\large{b}\)、2枚目のレンズの焦点距離を\(\large{f_2}\)とすると、以下の(Ⅰ)～(Ⅲ)のように分けられます。
(焦点距離\(\large{f_2}\)は、図中では2枚目のレンズから焦点位置\(\large{F_2}\)、\(\large{F'_2}\)までの距離を意味します。)
(Ⅰ) \(\large{0 < d < b}\) のとき
(中間像が2枚目のレンズより像側(右側))
(Ⅱ) \(\large{b < d < b + f_2}\) のとき
(中間像が2枚目のレンズより物体側(左側) かつ 焦点\(\large{F_2}\)より像側(右側))
(Ⅲ) \(\large{d > b + f_2}\) のとき
(中間像が2枚目のレンズの焦点\(\large{F_2}\)より物体側(左側))
以下の章では、これら(Ⅰ)から(Ⅲ)の作図の詳細を解説します。
【2】(Ⅰ)中間像が2枚目のレンズより像側
本章では、(Ⅰ)中間像が2枚目のレンズより像側(右側)に位置する場合の作図について解説します。
図2には、1枚目のレンズによって作られる像が、2枚目のレンズより像側(右側)にある場合を作図しています。
(中間像が2枚目のレンズの像側(右側)に位置する場合)
まず、図2の上側のように、2枚目のレンズを考えずに1枚目のレンズによる中間像を作図します。
次に、1枚目のレンズによって作られた中間像を、2枚目のレンズの物体とみなし作図します。
このとき、図2上側の光線のみでは2枚目のレンズによる像の位置が描けないため、 2枚目のレンズの中心と中間像を通過する光線を補助光線として引きます。
また、2枚目のレンズに平行に入射する光線は、2枚目のレンズの焦点位置\(\large{F'_2}\)を通過します。
補助光線と、この2枚目のレンズの焦点位置\(\large{F'_2}\)を通過した光線の交点が、組み合わせレンズの結像位置となります。
中間像が2枚目のレンズの像側(右側)に位置する場合は、図のように縮小され倒立する実像が作られます。
図2の下側の作図では、1枚目のレンズによって作られた中間像より物体側(左側)に、2枚目のレンズが配置されています。
このような配置の場合、2枚目のレンズの右側に物体があると考えます。
図3に、2枚目のレンズによる結像のみを抜き出した様子を図示します。
このとき、2枚目のレンズにとっては、実際に光線が集光していない位置に、物体があると見なし作図をすることになります。
実際に光線が集光してはいないことから、虚物体という呼び方をします。
【3】(Ⅱ)中間像が2枚目のレンズより物体側(左側) かつ 焦点\(\large{F_2}\)より像側(右側)
図4に、(Ⅱ)中間像が2枚目のレンズの物体側(左側)かつ、\(\large{F_2}\)より像側(右側)に位置する場合を作図しています。
(中間像が2枚目のレンズより物体側(左側)かつ焦点\(\large{F_2}\)より像側(右側)に位置)
まず、図4の上側のように、1枚目のレンズの結像状態のみを考えます。
次に図4の下側のように、1枚目のレンズによって作られた中間像を、2枚目のレンズの物体と考え光線を作図します。
このとき、前章の場合と同様に、中間像と2枚目のレンズの光軸と交わる位置を通る補助光線を引きます。
補助光線と、2枚目のレンズの焦点位置\(\large{F'_2}\)を通過する光線の交点から、組み合わせレンズの像を作図することができます。
図4下側に示されているように、このレンズの配置では倒立した虚像が作られます。
本章のような配置で正レンズを使用する光学系は、光学顕微鏡に利用されます。
図5に光学顕微鏡の光学系を示します。
1枚目のレンズは対物レンズ、2枚目のレンズは対眼レンズに相当します。
図のように接眼レンズの像側から観察することで、拡大された虚像を見ることができます。
【4】(Ⅲ)中間像が2枚目のレンズの焦点\(\large{F_2}\)より物体側(左側)
図6には、1枚目のレンズによって作られる像が、2枚目のレンズの焦点\(\large{F_2}\)より物体側(左側)にある場合を作図しています。
(中間像が2枚目のレンズの焦点\(\large{F_2}\)より物体側(左側))
図6の上側のように、まず2枚目のレンズを考えずに1枚目のレンズによる中間像を作図します。
次に、1枚目のレンズによって作られた中間像を、2枚目のレンズの物体とみなし作図します。
前章までと同様に、2枚目のレンズの中心を通る光線を補助光線として引きます。
この補助光線と、2枚目のレンズの焦点位置\(\large{F'_2}\)を通過した光線の光線が、組み合わせレンズの交点となります。
このようなレンズの配置では、正立した実像が得られます。