【解答のポイント】
問題の積分は分母分子に\({\hspace{1pt}(1-\sin x)\hspace{2pt}}\)をかけて変形します。
【解答】
問題の積分を変形すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\sin x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx - \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)は三角関数の積分公式から
$${\int \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx = \tan x +C}$$
となります。
また\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)は\({\hspace{2pt}t=\cos x\hspace{2pt}}\)と置換します。
\({t=\cos x\hspace{2pt}}\)の両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から
$${\frac{dt}{dx} = -\sin x}$$
となります。すなわち、\({dt = -\sin x dx\hspace{2pt}}\)と表せます。
積分の変数を置き換えると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= - \int \frac{1}{t^2 }\hspace{1pt}dt \\[1em]
&= \frac{1}{t} +C\\[1em]
&= \frac{1}{\cos x} +C\\[1em]
\end{aligned}
$$
以上から
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\sin x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx - \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx\\[1em]
&= \tan x -\frac{1}{\cos x} +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
【別解】
別解として半角の公式
$$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$
を利用する方法もあります。
半角の公式は\({\hspace{1pt}\sin x\hspace{2pt}}\)に対しては使えないため、三角関数の性質
$${\sin x = \cos \left(\frac{\pi}{2}-x \right)}$$
から変形します。
半角の公式から変形すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\sin x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-x \right)}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right)}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= - \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
となります。
二つの解法から求められた答えが一致するか確かめてみると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}- \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) &= - \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right)} \\[1em]
&= - \frac{\sin^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right)}{\sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right)}\hspace{10pt} \\[1em]
&= - \frac{1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-x \right) }{\sin \left(\frac{\pi}{2}-x \right)} \\[1em]
&= - \frac{1-\sin x }{\cos x} \\[1em]
&= \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} \\[1em]
&= \tan x - \frac{1}{\cos x} \\[1em]
\end{aligned}
$$
であることから2つの解が一致することが分かります。
(上記の式変形には二倍角の公式、半角の公式、三角関数の性質を使用しています。)
【関連するページ】
・置換積分法
・半角の公式