放物線と2つの接線に囲まれた面積の最小値

【解答のポイント】

与えられた条件から交点の\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)座標を求めて定積分を計算しようとすると、計算が煩雑になります。

そこで、曲線 \({y=ax^2+bx+c}\) と 2本の接線との接点の\({\hspace{1pt}x}\)座標を \({x=\alpha,\hspace{2pt}\beta}\) としたとき囲まれる面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)を求める1/12公式
$$\displaystyle{S = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3}$$ から『\({\beta - \alpha\hspace{2pt}}\)が最小値』 のとき 『面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)が最小値』となることを利用します。

【解答】

直線 \({y=2x-3}\) 上を動く点の座標を \({(\hspace{1pt}p\hspace{1pt},\hspace{1pt}2p-3\hspace{1pt})}\) とします。

曲線 \({y=x^2}\) と 座標\({(\hspace{1pt}p\hspace{1pt},\hspace{1pt}2p-3\hspace{1pt})}\) から曲線\({\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)に引かれた\({\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)本の接線 に囲まれた面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)を図示すると、以下のようになります。

また、曲線 \({\hspace{2pt}y=x^2}\) 上の接点\({(t,t^2)}\) における接線の方程式は $${y - t^2 = 2t(x-t)}$$ すなわち $$ \begin{aligned} y & = 2t(x-t) + t^2 \\[0.5em] &= 2tx - t^2\\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

この接線が 点\({(p,2p-3)}\) を通るとすると $${2p-3 = 2t\cdot p - t^2}$$ 式を整理すると $${t^2 -2p\hspace{1pt}t +2p-3 = 0\cdots(1)}$$ となります。この\({\hspace{1pt}t\hspace{3pt}}\)の二次方程式の解が 曲線と接線の交点の\({\hspace{2pt}x\hspace{1pt}}\)座標 となります。

(1)式の判別式を計算すると $$ \begin{aligned} \frac{D}{4} & = (-p)^2 - (2p-3) \\[0.5em] &= p^2-2p+3\\[0.5em] &= (p-1)^2 +2\\[0.5em] \end{aligned} $$ と変形されます。

したがって、常に\({D > 0 }\)となるため、すべての\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)に対して\({\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)つの異なる交点を持ちます。

曲線\({\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\)と接線の交点の\({\hspace{1pt}x\hspace{1pt}}\)座標を \({x=\alpha,\hspace{2pt}\beta\hspace{3pt}}\) とすると、1/12公式から面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)は以下のようになります。 $$ \begin{aligned} S & = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3\\[0.7em] &= \frac{1}{12}(\beta - \alpha)^3\\[0.5em] \end{aligned} $$

解の公式から (1)式 \({t^2 -2pt +2p-3 = 0}\) を解き、接線の交点の\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)座標の差分\({\hspace{2pt}\beta-\alpha}\) を求めると以下のようになります。 $$ \begin{aligned} \beta - \alpha & =p+\sqrt{\frac{D}{4}} - \left(p-\sqrt{\frac{D}{4}} \right)\\[0.5em] &=2\sqrt{\frac{D}{4}}\\[0.5em] &=2\sqrt{ (p-1)^2 +2}\\[0.5em] \end{aligned} $$

よって、\({p=1}\) のとき \({\beta - \alpha}\) は最小値 \({2\sqrt{2}}\) となります。

したがって、このときの面積\({S\hspace{1pt}}\) は $$ \begin{aligned} S & = \frac{1}{12}(2\sqrt{2})^3\\[0.5em] &=\frac{4\sqrt{2}}{3}\\[0.5em] \end{aligned} $$ であることから、\({p=1}\) すなわち 点\({(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}-1\hspace{1pt})}\) から接線を引いたときに 面積が最小値 \(\displaystyle{\frac{4\sqrt{2}}{3}}\) となります。

【関連するページ】
・定積分

・1/12公式