◆第問目！
\(\displaystyle{\tan \frac{x}{2}=t\hspace{2pt}}\)と置いて置換します。
【解答のポイント】
問題のような三角関数の有理式の積分は、\(\displaystyle{\tan \frac{x}{2}=t\hspace{2pt}}\)と置き換えて計算することができます。
三角関数の有理式の積分は、三角関数の公式から変形した方が楽な場合が多いので、変形ができない場合にだけこの置き換えを使います。
本問は以下の手順で積分を求めます。
①\(\displaystyle{\hspace{2pt}\tan \frac{x}{2}=t\hspace{2pt}}\)とおいて、\({\sin x\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}\cos x\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)により表す
②\(\displaystyle{\hspace{2pt}\frac{dt}{dx}\hspace{2pt}}\)を求める
③ ①と②の結果から置換積分法により積分を計算する
【解答】
\(\displaystyle{\tan \frac{x}{2}=t\hspace{2pt}}\)とおき、\({\sin x\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}\cos x\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)により表します。
先に\({\hspace{1pt}\tan x\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で表しておきます。二倍角の公式から
三角関数の相互関係 \(\displaystyle{\tan^2x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{2pt}}\)から
ここで、半角の公式 $$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$ から
また、三角関数の相互関係 \(\displaystyle{\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\hspace{2pt}}\)から
\(\displaystyle{t=\tan \frac{x}{2}\hspace{2pt}}\)の両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\frac{dt}{dx} & = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2} }\cdot \frac{1}{2}\\[1em] &= \frac{1}{2}(1+\tan^2 \frac{x}{2})\\[1em] &= \frac{1+t^2}{2}\\[1em] \end{aligned} $$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \frac{2}{1+t^2} dt\hspace{2pt}}\)と表せます。
以上から、問題の積分を求めると以下のようになります。
ここで、\(\displaystyle{\frac{5}{(2t+1)(t-2)} \hspace{2pt}}\)を部分分数分解します。
以下のように分解されるとして、定数\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を求めます。 $${\frac{5}{(2t+1)(t-2)} = \frac{A}{2t+1} + \frac{B}{t-2}}$$ 両辺に\({\hspace{1pt}(2t+1)(t-2)\hspace{2pt}}\)をかけると $${5 = (t-2)A+ (2t+1)B}$$ すなわち $${5 = (A+2B)t -2A+B}$$ 上式が恒等式となるように左右の係数を比較すると $${A+2B = 0}$$ $${-2A+B = 5}$$ となることから $${A=-2,B=1}$$ となります。したがって
となります。
問題の積分を求めると
【関連するページ】
・置換積分法