【解答のポイント】
問題の積分は分母分子に\({\hspace{1pt}(1-\cos x)\hspace{2pt}}\)をかけて変形します。
【解答】
問題の積分を変形すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1-\cos x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1-\cos x}{1-\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx - \int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)と\(\displaystyle{\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)をそれぞれ計算します。
\(\displaystyle{\int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)は\({\hspace{1pt}t=\tan x\hspace{2pt}}\)と置換し積分します。
\({t=\tan x\hspace{2pt}}\)の両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から
$${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}}$$
となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \frac{1}{\cos^2 x} dx\hspace{2pt}}\)と表せます。
積分の変数を置き換えると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{\tan^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{t^2}\hspace{1pt}dt \\[1em]
&= -\frac{1}{t} +C\\[1em]
&= -\frac{1}{\tan x} +C\\[1em]
\end{aligned}
$$
また\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)は\({\hspace{2pt}t=\sin x\hspace{2pt}}\)と置換します。
\({t=\sin x\hspace{2pt}}\)の両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から
$${\frac{dt}{dx} = \cos x}$$
となります。すなわち、\({dt = \cos x dx\hspace{2pt}}\)と表せます。
積分の変数を置き換えると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{t^2 }\hspace{1pt}dt \\[1em]
&= -\frac{1}{t} +C\\[1em]
&= -\frac{1}{\sin x} +C\\[1em]
\end{aligned}
$$
以上から
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx - \int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= -\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\sin x} +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
【別解】
別解として半角の公式
$$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$
を利用する方法もあります。
半角の公式から変形すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \tan \frac{x}{2} +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
二つの解法から求められた答えが一致するか確かめてみると
$$
\begin{aligned}
\tan \frac{x}{2} &= \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \\[1em]
&= \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \\[1em]
&= \frac{1-\cos x }{\sin x} \\[1em]
&= \frac{-\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x} \\[1em]
&= -\frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\sin x} \\[1em]
\end{aligned}
$$
であることから2つの解が一致することが分かります。
(上記の式変形には二倍角の公式、半角の公式を使用しています。)
【関連するページ】
・置換積分法
・半角の公式