◆第問目！
\({\hspace{1pt}x=3 \sin \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
【解答のポイント】
\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \sqrt{a^2-x^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の形式の積分は\({\hspace{1pt}x=a \sin \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えることで積分できます。
【解答】
\({x= 3 \sin \theta}\) とおきます。
変数\({x}\) の範囲に対応する変数\({\theta}\) を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \({0 \to 3}\) |
|---|---|
| \({\theta}\) | \(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{2}}\) |
\({x= 3 \sin \theta}\) の両辺を \({\theta}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = 3\cos \theta}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = 3 \cos \theta \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
積分を計算すると、以下のようになります。
ここで、半角の公式 $${\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2 \theta}{2}}$$ から変形すると
【別解】
本問は、積分を使わずに値を求めることもできます。
本問の被積分関数\({\hspace{1pt}y=\sqrt{9-x^2}\hspace{2pt}}\)は、\({\hspace{1pt}-3 \leqq x \leqq 3\hspace{2pt}}\)において半径\({\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)の半円を表します。
すなわち、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)は半径\({\hspace{1pt}3\hspace{2pt}}\)の円の面積\({\hspace{1pt}9 \pi \hspace{2pt}}\)の\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{1}{4}\hspace{2pt}}\)を表すため $${\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \hspace{1pt}dx = \frac{9}{4}\pi}$$ となります。
【関連するページ】
・置換積分法