◆第問目！
\({\hspace{2pt}t=\sin x\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します
【解答のポイント】
問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=\sin x\hspace{2pt}}\)とすると、\({\displaystyle\hspace{1pt}f'(x)=\cos x\hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int f'(x)\hspace{1pt}\log(f(x))\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。
このような積分は、置換積分法が有効です。
【解答】
\({t= \sin x}\) とおきます。
変数\({x}\) の範囲に対応する変数\({t}\) を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \({\displaystyle\frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{2}}\) |
|---|---|
| \({t}\) | \(\displaystyle{\frac{1}{2} \to 1}\) |
\({t= \sin x}\) の両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{dx} = \cos x}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \cos x\hspace{1pt} dx}\) と表せます。
積分の変数を置き換えると、以下のようになります。
ここで、部分積分
$$ \begin{aligned} &\int_a^b f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= [ f(x)\hspace{1pt}g(x) ]_a^b- \int_a^b f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$
から \({\displaystyle\int_\frac{1}{2}^1 \log t\hspace{1pt}dt\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}f'(t)=1,\hspace{1pt}g(t)= \log t}\) として部分積分から積分します。
【関連するページ】
・置換積分法