【解答のポイント】
三倍角の公式
$${\hspace{10pt}\sin3 x = 3\sin x -4\sin^3 x\hspace{10pt}}$$
すなわち
$${\hspace{10pt}\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3 x}{4}\hspace{10pt}}$$
から変形します。
【解答】
積分を計算すると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \sin^3 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \frac{1}{4} \int (3 \sin x -\sin 3x) \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \frac{1}{4}\left(-3 \cos x +\frac{1}{3}\cos 3x \right)+C\hspace{10pt}\\[1em]
&= -\frac{3}{4}\cos x +\frac{1}{12} \cos 3x +C\hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
【別解】
別解として、置換積分法から計算することもできます。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \sin^3 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int (1- \cos^2 x) \sin x\hspace{1pt}dx \\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで、\({t = \cos x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると
$${\frac{dt}{dx} = - \sin x}$$
となります。すなわち、\({dt = - \sin x\hspace{1pt} dx}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int (1- \cos^2 x) \sin x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= - \int (1-t^2) \hspace{1pt}dt \\[1em]
&= -(t - \frac{1}{3}t^3) + C\hspace{10pt}\\[1em]
&= -\left( \cos x - \frac{1}{3}\cos^3 x \right) + C\hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
三倍角の公式を使用した場合と式が異なるように見えますが、cosの三倍角の公式でさらに変形すると、同じ結果となることが分かります。
三倍角の公式
$${\cos3 x = -3\cos x +4\cos^3 x}$$
から
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& -\left( \cos x - \frac{1}{3}\cos^3 x \right) + C \\[1em]
&= - \cos x + \frac{1}{3}\cdot \frac{3\cos x+ \cos 3x}{4} + C \\[1em]
&= -\frac{3}{4}\cos x +\frac{1}{12} \cos 3x +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・三倍角の公式
・置換積分法