sin(logx)/xの不定積分

【解答のポイント】

問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=\log x\hspace{2pt}}\)とすると、\({\displaystyle\hspace{1pt}f'(x)=\frac{1}{x}\hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int f'(x)\hspace{1pt}\sin(f(x))\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

このような積分は、置換積分法が有効です。

【解答】

\({t=\log x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると、対数関数の微分から $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \frac{1}{x} \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法