◆第問目！
\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{1}{x^2+a^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の形式の積分は\({\hspace{1pt}x=a \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します
この積分から類推して変数を置き換えて積分します
【解答のポイント】
\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{1}{x^2+a^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の形式の積分は\({\hspace{1pt}x=a \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
問題の被積分関数は $$\displaystyle{\frac{e^x}{e^{2x}+3} = \frac{e^x}{(e^{x})^2+(\sqrt{3})^2}}$$ であることから、\({\hspace{1pt}e^x= \sqrt{3}\tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
(\({\hspace{1pt}e^x= t\hspace{2pt}}\)と置き換えることもできますが、さらにもう一度変数を置き換える必要があるため計算が煩雑になります。)
【解答】
\({e^x= \sqrt{3}\tan \theta}\) とおきます。
変数\({x\hspace{2pt}}\)の範囲に対応する変数\({\theta\hspace{2pt}}\)を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \({\log \sqrt{3} \to \log 3}\) |
|---|---|
| \({\theta}\) | \(\displaystyle{\frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{3}}\) |
(対数の公式から\({\hspace{2pt}a^{\log_a b} = b\hspace{2pt}}\)と求められます。)
\({e^x= \sqrt{3}\tan \theta}\) を変形すると \({x=\log (\sqrt{3}\tan \theta)\hspace{2pt}}\)であることから、両辺を \({\theta}\) で微分して $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} \frac{dx}{d\theta} &= \frac{1}{\sqrt{3} \tan \theta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} \\[1em] &= \frac{1}{e^x}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} \end{aligned} $$ となります。すなわち、\(\displaystyle{e^x dx = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
積分を計算すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法