-光と光学に関連する用語の解説サイト-

cos√xの不定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $$\large{\int \cos \sqrt{x}\hspace{1pt}dx}$$

根号の中が一次式の場合、根号の全体を置き変えて積分します。
本問の場合は、\(\displaystyle{\sqrt{x}=t\hspace{2pt}}\)とおいて置換します。

【解答のポイント】

根号の中が一次式の場合、置換積分法によって根号の全体を置き変えて積分します。

本問の場合は、\(\displaystyle{\sqrt{x}=t\hspace{2pt}}\)とおいて置換します。

【解答】

\(\displaystyle{\sqrt{x}=t\hspace{2pt}}\)とおくと、\({x=t^2\hspace{2pt}}\)となります。

両辺を\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で微分すると、\(\displaystyle{\frac{dx}{dt}\hspace{2pt}=2t\hspace{1pt}}\)となるため、\({dx=2t dt\hspace{2pt}}\)と表せます。

問題の積分の変数を置き換えると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \cos \sqrt{x}\hspace{1pt}dx \\[1em] & = 2 \int t \cos t\hspace{1pt}dt \\[1em] \end{aligned} $$

ここで、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に成り立つ部分積分 $$ \begin{aligned} & \int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$ を用いて計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& 2 \int t \cos t\hspace{1pt}dt \\[1em] &= 2 \int t (\sin t)'\hspace{1pt}dt \\[1em] &= 2 t \sin t - 2\int (t)' \sin t \hspace{1pt}dt \\[1em] &= 2 t \sin t - 2\int \sin t \hspace{1pt}dt \\[1em] &= 2 t \sin t + 2\cos t +C\\[1em] &= 2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 2\cos \sqrt{x} +C\\[1em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
・置換積分法

・部分積分

　【出題範囲】　　　【難易度】


　



Copyright (c) 光学技術の基礎用語 All Rights Reserved.