logx/xの不定積分

【解答のポイント】

問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=\log x\hspace{2pt}}\)とすると、\({\displaystyle\hspace{1pt}f'(x)=\frac{1}{x}\hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int f'(x)\hspace{1pt}{f(x)}\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

このような積分は、置換積分法が有効です。

【解答】

\({t=\log x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \frac{1}{x} \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【別解】

部分積分から解くこともできます。

部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。

$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x) - \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$

\(\displaystyle{f'(x)= \frac{1}{x}\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) とおくと部分積分から

すなわち $${ \int \frac{\log x}{x} \hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C}$$ と求められます。

【関連するページ】
・置換積分法

・部分積分