指数関数の不定積分

【解答のポイント】

本問は指数関数の積分公式 $${\int a^x \hspace{1pt}dx = \frac{a^x}{\log a} + C}$$ から計算します。

また、\({F'(x)=f(x),a \neq 0}\)のときの積分公式 $${\int f(ax+b)\hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C}$$ を使用します。

【解答】

問題の積分を計算すると

となります。

【別解】

置換積分法を使用する場合は、以下のようになります。

\({t=-4x+3}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = -4}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = -\frac{1}{4}\hspace{1pt} dt}\) と表せます。

問題の積分を計算すると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int 2^{-4x+3} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= -\frac{1}{4}\int 2^t \hspace{1pt}dt \\[1em] &= -\frac{1}{4} \frac{2^t}{\log 2} +C\\[1em] &= -\frac{2^{-4x+3}}{4 \log 2} +C\\[0.5em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
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