無理関数の不定積分

【解答のポイント】

本問の無理関数は指数法則
$${x^n \times x^m = x^{n+m}}$$ $${\frac{1}{x^n}= x^{-n}}$$ $${\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}}$$ などから変形して不定積分の公式に当てはめます。

不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$

【解答】

指数法則から $$ \begin{aligned} \frac{1}{x\sqrt{x}} & = \frac{1}{x^1 \times x^{\frac{1}{2}}}\\[0.5em] & = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\\[0.5em] & = x^{-\frac{3}{2}}\\[0.5em] \end{aligned} $$ と変形されます。

問題の積分を計算すると

$$ \begin{aligned} & \int \frac{1}{x \sqrt{x}}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] & = \int x^{-\frac{3}{2}}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] & = \frac{1}{-\frac{3}{2}+1}x^{-\frac{3}{2}+1} +C\\[0.5em] & = -2 x^{-\frac{1}{2}} +C \\[0.5em] & = -\frac{2}{\sqrt{x}}+C \\ \end{aligned} $$

【関連するページ】
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