無理関数を含む関数の不定積分

【解答のポイント】

まず、分子の\({\hspace{1pt}(\sqrt{x}-1)^2\hspace{2pt}}\)を展開します。

(分子の次数) ≧ (分母の次数) の関係となっているため、分母の\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)で分子を割り、和の式に直してから積分します。

無理関数の式変形には指数法則
$${\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}}$$ $${x^n \div x^m = x^{n-m}}$$ などを使用します。

各項の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$

また、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{1}{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int \frac{1}{x} dx= \log |x| + C}$$

【解答】

問題の積分を計算すると

$$ \begin{aligned} & \int \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] & = \int \frac{x-2\sqrt{x}+1}{x}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] & = \int \left(1-2x^{-\frac{1}{2}}+ \frac{1}{x}\right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] & = \int 1 \hspace{1pt}dx -2 \int x^{-\frac{1}{2}} \hspace{1pt}dx + \int \frac{1}{x}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] & = x -2 \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1} x^{-\frac{1}{2}+1 }+ \log |x| +C \\[0.5em] & = x -4x^{\frac{1}{2}} + \log |x| +C \\[0.5em] & = x -4 \sqrt{x} + \log |x| +C \\ \end{aligned} $$

【関連するページ】
・不定積分