放物線と接線に囲まれた面積

【解答のポイント】

本問は接線の関数が分からないため、まず接線の方程式を求めます。

次に、グラフを描いて関数の上下関係を調べてから積分します。

また、放物線 \({y=ax^2+bx+c}\)、その放物線上の\({{\hspace{2pt}x=\alpha}}\) における接線、直線\({{\hspace{2pt}x=\beta}\hspace{2pt}}\)により 囲まれる面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)を求める1/3公式 $${\displaystyle{S = \frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3}}$$ を用いると簡単に計算ができます。(別解に記載)

【解答】

まず、放物線\({C}\)上の点\({(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}10\hspace{1pt})}\) における接線の方程式を求めます。

\({f(x)=2x^2-3x+5}\) とすると、\({f'(x)=4x-3}\) となります。
つまり、点\((-1,10)\) における接線の傾きは \({f'(-1)=-7}\) となります。

したがって、接線の方程式の公式 $${y=f'(a)(x-a)+f(a)}$$ から、求める接線の方程式は

と求められます。

放物線 \({y=2x^2-3x+5}\) と 接線 \({y=-7x+3}\) と 直線 \({\hspace{1pt}x=2}\) に囲まれた面積を図示すると、以下のようになります。

\({-1 \leqq x \leqq 2}\) において、放物線 \({y=2x^2-3x+5}\) は接線 \({y=-7x+3}\) の上側にあることから、面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\) は以下のように求められます。

【別解】

放物線 \({y=ax^2+bx+c}\)、その放物線上の\({{\hspace{2pt}x=\alpha}}\) における接線、直線\({{\hspace{2pt}x=\beta}\hspace{2pt}}\)により 囲まれる面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)を求める1/3公式 $${\displaystyle{S = \frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3}}$$

から求めます。

求める面積\({\hspace{1pt}S}\) は、放物線の二次の係数が \({a=2}\)、接点の\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)座標が\({\hspace{1pt}\alpha=-1\hspace{2pt}}\)、\({\beta=2}\) であることから $$ \begin{aligned} S &= \frac{|2|}{3}(2-(-1))^3 \\[1em] & = 18\\[1em] \end{aligned} $$ と求められます。

【関連するページ】
・定積分

・1/3公式

・接線の方程式