◆第問目！
\({t=\log x \hspace{2pt}}\)と置換して積分します
【解答のポイント】
\({t=\log x}\) とおいて両辺を \({x}\) で微分すると\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}\hspace{1pt}\)となり、\(x\hspace{1pt}\)が余分に現れます。
このとき、\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を変数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で表すことで積分できるように変形します。
【解答】
\({t=\log x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると、対数関数の微分から $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}}$$ となります。
ここで、\(\hspace{1pt}x= e^t\hspace{1pt}\)であることから、\(\displaystyle{dx = e^t \hspace{1pt} dt}\) と表せます。
変数を置き換えて変形すると、以下のようになります。
ここで、\(\displaystyle{I= \int e^t \sin t \hspace{1pt}dt}\) とおき、部分積分を用いることで計算します。
部分積分から
ここで、\({ \int e^t \cos t \hspace{1pt}dt\hspace{1pt}\hspace{2pt}}\)を部分積分から計算すると
となります。
よって、 $${I = e^t \sin t - (e^t \cos t + I)}$$ となることから $${I = \frac{1}{2}e^t(\sin t - \cos t)}$$ と求められます。
したがって、問題の不定積分は以下のように求められます。