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√(x^2+1)の不定積分の問題

◆第問目！

【 難易度 ★★★★ 】
　次の不定積分を求めよ
$${\large\int \sqrt{x^2+1} \hspace{1pt}dx}$$

この問題は特別な置き換えが必要となります。

\({t = \sqrt{x^2 +1}+ x\hspace{2pt}}\)と置き換えることで積分します。

【解答のポイント】

この問題は特別な置き換えを必要とする積分の問題です。

本問のような \(\displaystyle{\int \sqrt{x^2+a} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の形式の積分は \({t = \sqrt{x^2 +a}+ x\hspace{2pt}}\)と置き換えることで積分します。

【解答】

\({t = \sqrt{x^2 +1}+ x\hspace{2pt}}\)とおくと、\(\displaystyle{x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}\hspace{2pt}}\)となります。

\(\displaystyle{x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}}\) の両辺を \({t}\) で微分すると $${\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2t^2}}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2t^2}\right)\hspace{1pt} dt}\) と表せます。

また、\({\hspace{1pt}\sqrt{x^2+1}\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で表すと $$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+1} &= t-x \\[0.7em] &= t- \left(\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}\right)\\[1em] &= \frac{t}{2}+\frac{1}{2t}\\[1em] \end{aligned} $$ となります。

変数を置き換えて積分すると以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \int\sqrt{x^2+1} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \left(\frac{t}{2}+\frac{1}{2t} \right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2t^2}\right)\hspace{1pt} dt \\[1em] &= \frac{1}{4} \int \left(t +\frac{2}{t} + \frac{1}{t^3}\right)\hspace{1pt} dt \\[1em] &= \frac{1}{4} \left(\frac{t^2}{2} +2\log |t| -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^2} \right) +C\\[1em] &= \frac{1}{8} \left(t -\frac{1}{t} \right)\left(t +\frac{1}{t} \right) +\frac{1}{2}\log|t| +C \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

ここで\(\displaystyle{\hspace{1pt}x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}\hspace{2pt}}\)、\(\displaystyle{\sqrt{x^2+1}= \frac{t}{2}+\frac{1}{2t}\hspace{2pt}}\)から変数を元に戻すと

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \frac{1}{8} \left(t -\frac{1}{t} \right)\left(t +\frac{1}{t} \right) +\frac{1}{2}\log|t| +C\hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{1}{2}x \sqrt{x^2+1} +\frac{1}{2}\log ( \sqrt{x^2+1} + x ) +C \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

となります。

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・置換積分法

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