◆第問目！
この問題は特別な置き換えが必要となります。
\({t = \sqrt{x^2 +1}+ x\hspace{2pt}}\)と置き換えれば簡単に計算することができます。
上記の置き換えが思いつかない場合は、被積分関数に\({\hspace{1pt}(x^2+a^2)\hspace{2pt}}\)が含まれていることから、\({x=a \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えても積分できます。
【解答のポイント】
この問題は特別な置き換えを必要とする積分の問題です。
\({t = \sqrt{x^2 +1}+ x\hspace{2pt}}\)と置き換えれば簡単に計算することができます。
上記の置き換えが思いつかない場合は、被積分関数に\({\hspace{1pt}(x^2+a^2)\hspace{2pt}}\)が含まれていることから、\({x=a \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えても積分できます。(別解に記載)
【解答】
\({t = \sqrt{x^2 +1}+ x\hspace{2pt}}\)とおくと、\(\displaystyle{x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}\hspace{2pt}}\)となります。
\(\displaystyle{x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}}\) の両辺を \({t}\) で微分すると $${\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2t^2}}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2t^2}\right)\hspace{1pt} dt}\) と表せます。
また、\({\hspace{1pt}\sqrt{x^2+1}\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)で表すと $$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+1} &= t-x \\[0.7em] &= t- \left(\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}\right)\\[1em] &= \frac{t}{2}+\frac{1}{2t}\\[1em] \end{aligned} $$ となります。すなわち $$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} &= \frac{1}{ \frac{t}{2}+\frac{1}{2t}} \\[1em] &= \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{ \frac{1}{2}+\frac{1}{2t^2}} \\[1em] \end{aligned} $$ となります。
変数を置き換えて積分すると以下のようになります。
【別解】
被積分関数に\({\hspace{1pt}(x^2+a^2)\hspace{2pt}}\)が含まれていることから、\({x=a \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
\({x= \tan \theta}\) (\({-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}}\)) とおきます。(この\({\hspace{1pt}\theta\hspace{2pt}}\)の範囲指定は積分計算の過程で根号を外すときに使います。)
\({x= \tan \theta}\) の両辺を \({\theta}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} }$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
変数を置き換えて積分を計算すると、以下のようになります。
ここで、\(\displaystyle{-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}}\) から\({\hspace{1pt}\cos \theta > 0\hspace{2pt}}\)より
ここで、\({t=\sin \theta}\)とおきます。
\({t= \sin \theta}\) の両辺を \({\theta}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{d\theta} = \cos \theta }$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \cos \theta \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
変数を置き換えて積分を計算すると、以下のようになります。
ここで、\(\displaystyle{\frac{1}{(1+t)(1-t)}\hspace{2pt}}\)を部分分数分解します。
以下の式に分解されるとして、\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を求めます。 $${\frac{1}{(1+t)(1-t)} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}}$$ 両辺に\({\hspace{1pt}(1+t)(1-t)\hspace{2pt}}\)をかけると $${1 = (1-t)A+ (1+t)B}$$ すなわち $${1 = (-A+B)t +A+B}$$ 恒等式となるように左右の係数を比較すると $${-A+B = 0}$$ $${A+B = 1}$$ となることから $${A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}}$$ したがって、 $${\frac{1}{(1+t)(1-t)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}\right)}$$ となります。
部分分数分解をして積分すると、以下のようになります。
ここで、\({t = \sin \theta\hspace{2pt}}\)から
ここで、\({x = \tan \theta \hspace{2pt}}\)から
【関連するページ】
・置換積分法