◆第問目！
被積分関数は 『(分母の次数) > (分子の次数)』 の関係の分数のため、因数分解して部分分数分解をしたいところですが、分母の関数は実数の範囲で因数分解できません。
そこで、分母を平方完成することで置換積分ができる \(\displaystyle{\frac{1}{(x+p)^2 + a^2}\hspace{2pt}}\)の形式に変形します。
【解答のポイント】
被積分関数は 『(分母の次数) > (分子の次数)』 の関係の分数のため、因数分解して部分分数分解をしたいところですが、分母の関数は実数の範囲で因数分解できません。
そこで、分母を平方完成して置換積分ができる \(\displaystyle{\frac{1}{(x+p)^2 + a^2}\hspace{2pt}}\)の式に変形し、\({x+p =a \tan \theta \hspace{2pt}}\)に置き換えて積分します。
【解答】
被積分関数の分母を平方完成して変形すると
となります。
ここで \(\displaystyle{x+\frac{1}{2}= \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta}\) とおきます。
変数\({x}\)の範囲に対応する変数\({\theta}\)を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \({0 \to 1}\) |
|---|---|
| \({\theta}\) | \(\displaystyle{\frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{3}}\) |
また、\(\displaystyle{x +\frac{1}{2}= \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta}\) の両辺を \({\theta}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2\cos^2 \theta} }$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \frac{\sqrt{3}}{2\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると
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